Номер 18.52, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.52, страница 183.

Условие.

18.52. Решите уравнение $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$.

Решение.

Данное уравнение: $\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = x^2 - 6x + 11$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 4 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \in [2; 4]$.

2. Проанализируем левую и правую части уравнения на этом отрезке.

Рассмотрим левую часть как функцию $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$. Найдём её наибольшее значение на отрезке $[2; 4]$.
Для этого найдём производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{x-2})' + (\sqrt{4-x})' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} - \frac{1}{2\sqrt{4-x}}$.
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\frac{1}{2\sqrt{x-2}} - \frac{1}{2\sqrt{4-x}} = 0$
$\sqrt{x-2} = \sqrt{4-x}$
$x - 2 = 4 - x$
$2x = 6$
$x = 3$.
Точка $x=3$ принадлежит ОДЗ. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$f(2) = \sqrt{2-2} + \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$
$f(4) = \sqrt{4-2} + \sqrt{4-4} = \sqrt{2}$
$f(3) = \sqrt{3-2} + \sqrt{4-3} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$.
Таким образом, наибольшее значение левой части уравнения на ОДЗ равно 2. Значит, $\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} \le 2$.

3. Рассмотрим правую часть как функцию $g(x) = x^2 - 6x + 11$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдём её наименьшее значение.
Выделим полный квадрат:
$g(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$.
Наименьшее значение этой функции достигается в вершине параболы при $x=3$ и равно 2.
Таким образом, $x^2 - 6x + 11 \ge 2$.

4. Сопоставим результаты анализа обеих частей.
Исходное уравнение $\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = x^2 - 6x + 11$ может иметь решение только в том случае, если его левая и правая части равны.
Мы получили, что левая часть $\le 2$, а правая часть $\ge 2$.
Следовательно, равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 2:
$\begin{cases} \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = 2 \\ x^2 - 6x + 11 = 2 \end{cases}$
Оба этих условия выполняются при $x = 3$. Это значение входит в ОДЗ.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:
$\sqrt{3-2} + \sqrt{4-3} = 3^2 - 6(3) + 11$
$\sqrt{1} + \sqrt{1} = 9 - 18 + 11$
$1 + 1 = 2$
$2 = 2$.
Равенство верное.

Ответ: 3