Номер 18.56, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.56, страница 183.

Условие.

18.56. Известно, что $x^2 + 3y^2 + z^2 = 2$. Докажите неравенство $|2x + y - z| \leq 4\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца. Для двух наборов действительных чисел $(a_1, a_2, ..., a_n)$ и $(b_1, b_2, ..., b_n)$ оно имеет вид:

$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$

В нашем случае мы имеем дело с тремя переменными $x, y, z$. Преобразуем левую часть доказываемого неравенства, выражение $2x + y - z$, так, чтобы можно было применить неравенство Коши-Буняковского-Шварца, используя условие $x^2 + 3y^2 + z^2 = 2$.

Заметим, что $3y^2 = (\sqrt{3}y)^2$. Тогда условие можно переписать в виде $x^2 + (\sqrt{3}y)^2 + z^2 = 2$.

Теперь представим выражение $2x + y - z$ следующим образом:

$2x + y - z = 2 \cdot x + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt{3}y) + (-1) \cdot z$

Теперь мы можем применить неравенство Коши-Буняковского-Шварца для следующих двух наборов чисел:

Набор 1: $(a_1, a_2, a_3) = (2, \frac{1}{\sqrt{3}}, -1)$

Набор 2: $(b_1, b_2, b_3) = (x, \sqrt{3}y, z)$

Подставляем эти наборы в неравенство:

$(2 \cdot x + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt{3}y) + (-1) \cdot z)^2 \le (2^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (-1)^2)(x^2 + (\sqrt{3}y)^2 + z^2)$

Упростим обе части этого неравенства.

Левая часть: $(2x + y - z)^2$.

Правая часть:
Вычислим первую скобку:
$2^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (-1)^2 = 4 + \frac{1}{3} + 1 = 5 + \frac{1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$.
Вторая скобка, согласно условию задачи, равна:
$x^2 + (\sqrt{3}y)^2 + z^2 = x^2 + 3y^2 + z^2 = 2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(2x + y - z)^2 \le \frac{16}{3} \cdot 2$

$(2x + y - z)^2 \le \frac{32}{3}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|2x + y - z| \le \sqrt{\frac{32}{3}}$

Упростим корень в правой части:

$\sqrt{\frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 2}{3}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{2}{3}}$

Итак, мы доказали, что:

$|2x + y - z| \le 4\sqrt{\frac{2}{3}}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.