Номер 18.63, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.63, страница 184.

Условие.

18.63. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$ и $a + b + c = 1$, то $(1 + a)(1 + b)(1 + c) \ge 8(1 - a)(1 - b)(1 - c)$.

Решение.

По условию задачи даны положительные числа $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$, для которых выполняется равенство $a+b+c=1$. Требуется доказать неравенство:

$(1+a)(1+b)(1+c) \ge 8(1-a)(1-b)(1-c)$

Для доказательства преобразуем выражения в обеих частях неравенства, используя данное условие $a+b+c=1$.

Рассмотрим выражения в правой части:

$1-a = (a+b+c) - a = b+c$

$1-b = (a+b+c) - b = a+c$

$1-c = (a+b+c) - c = a+b$

Теперь преобразуем выражения в левой части:

$1+a = (a+b+c) + a = (a+b) + (a+c)$

$1+b = (a+b+c) + b = (a+b) + (b+c)$

$1+c = (a+b+c) + c = (a+c) + (b+c)$

Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$: $x+y \ge 2\sqrt{xy}$. Так как $a, b, c > 0$, то слагаемые $(a+b)$, $(b+c)$, $(a+c)$ также положительны.

Для каждого из преобразованных выражений левой части получим:

$1+a = (a+b)+(a+c) \ge 2\sqrt{(a+b)(a+c)}$

$1+b = (a+b)+(b+c) \ge 2\sqrt{(a+b)(b+c)}$

$1+c = (a+c)+(b+c) \ge 2\sqrt{(a+c)(b+c)}$

Поскольку все части этих неравенств положительны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(1+a)(1+b)(1+c) \ge 2\sqrt{(a+b)(a+c)} \cdot 2\sqrt{(a+b)(b+c)} \cdot 2\sqrt{(a+c)(b+c)}$

Упростим правую часть полученного произведения:

$(1+a)(1+b)(1+c) \ge 8\sqrt{(a+b)^2(b+c)^2(a+c)^2}$

$(1+a)(1+b)(1+c) \ge 8|(a+b)(b+c)(a+c)|$

Так как $a, b, c$ положительны, то и суммы $(a+b), (b+c), (a+c)$ положительны, поэтому модуль можно опустить:

$(1+a)(1+b)(1+c) \ge 8(a+b)(b+c)(c+a)$

Теперь вернемся к заменам, которые мы сделали в самом начале: $a+b = 1-c$, $b+c = 1-a$ и $c+a = 1-b$. Подставим их в правую часть доказанного неравенства:

$(1+a)(1+b)(1+c) \ge 8(1-c)(1-a)(1-b)$

Переупорядочив множители в правой части, получаем исходное неравенство:

$(1+a)(1+b)(1+c) \ge 8(1-a)(1-b)(1-c)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.