Номер 18.66, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.66, страница 184.

Условие.

18.66. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$, то $\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} > 2$.

Решение.

Обозначим левую часть доказываемого неравенства через $S$:$S = \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}}$.

Наша задача — доказать, что $S > 2$ при $a > 0, b > 0, c > 0$.

Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{\frac{a}{b+c}}$. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на $a$ (это возможно, так как $a > 0$):$\sqrt{\frac{a}{b+c}} = \sqrt{\frac{a^2}{a(b+c)}} = \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}$.

Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для положительных чисел $x=a$ и $y=b+c$. Неравенство гласит, что $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$. Применительно к нашему случаю:$\sqrt{a(b+c)} \le \frac{a + (b+c)}{2} = \frac{a+b+c}{2}$.

Так как обе части этого неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, при этом знак неравенства изменится на противоположный:$\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}} \ge \frac{2}{a+b+c}$.

Теперь умножим обе части на положительное число $a$:$\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}} \ge \frac{2a}{a+b+c}$. Таким образом, для первого слагаемого суммы $S$ мы получили оценку снизу:$\sqrt{\frac{a}{b+c}} \ge \frac{2a}{a+b+c}$.

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a = b+c$.

Проводя аналогичные рассуждения для двух других слагаемых, получаем:$\sqrt{\frac{b}{c+a}} \ge \frac{2b}{a+b+c}$, равенство достигается при $b = c+a$.
$\sqrt{\frac{c}{a+b}} \ge \frac{2c}{a+b+c}$, равенство достигается при $c = a+b$.

Сложив три полученных неравенства, получим оценку для $S$:$S = \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \ge \frac{2a}{a+b+c} + \frac{2b}{a+b+c} + \frac{2c}{a+b+c}$.

$S \ge \frac{2a+2b+2c}{a+b+c} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} = 2$.

Мы доказали, что $S \ge 2$. Теперь необходимо показать, что неравенство является строгим, то есть $S > 2$. Равенство $S=2$ возможно только в том случае, если все три неравенства для слагаемых одновременно обращаются в равенства. Это требует одновременного выполнения системы уравнений:$a = b+c$
$b = c+a$
$c = a+b$

Сложим все три уравнения этой системы:$a+b+c = (b+c) + (c+a) + (a+b)$$a+b+c = 2a + 2b + 2c$$a+b+c = 2(a+b+c)$

Последнее равенство $a+b+c = 2(a+b+c)$ может выполняться только при условии, что $a+b+c = 0$. Однако по условию задачи $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$, следовательно, их сумма $a+b+c$ должна быть строго положительной.Полученное противоречие ($a+b+c > 0$ и $a+b+c = 0$) означает, что система уравнений не имеет решений для положительных $a, b, c$. Это, в свою очередь, означает, что три условия для равенства не могут выполняться одновременно. Следовательно, хотя бы одно из трех неравенств для слагаемых является строгим.

Поскольку хотя бы одно из слагаемых в левой части строго больше соответствующего слагаемого в правой части, то и вся сумма будет строго больше: $S > 2$. Таким образом, неравенство $\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} > 2$ доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.