Номер 18.60, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.60, страница 183.

Условие.

18.60. Докажите, что если $a \geq 0$ и $b \geq 0$, то $\sqrt{a^2 + 1} + \sqrt{b^2 + 1} \geq 2\sqrt{a+b}$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на неравенстве Минковского (также известном как неравенство треугольника для векторов).

Рассмотрим на двумерной плоскости два вектора: $\vec{u} = (a, 1)$ и $\vec{v} = (b, 1)$.

Длины (модули) этих векторов равны:

$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + 1^2} = \sqrt{a^2+1}$

$|\vec{v}| = \sqrt{b^2 + 1^2} = \sqrt{b^2+1}$

Найдем вектор, являющийся их суммой:

$\vec{u} + \vec{v} = (a+b, 1+1) = (a+b, 2)$

Длина вектора суммы равна:

$|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{(a+b)^2 + 2^2} = \sqrt{(a+b)^2 + 4}$

Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух векторов не может быть меньше длины их суммы:

$|\vec{u}| + |\vec{v}| \ge |\vec{u} + \vec{v}|$

Подставляя выражения для длин векторов, получаем:

$\sqrt{a^2+1} + \sqrt{b^2+1} \ge \sqrt{(a+b)^2 + 4}$

Теперь докажем, что правая часть этого неравенства, в свою очередь, не меньше правой части исходного неравенства. То есть, докажем, что $\sqrt{(a+b)^2 + 4} \ge 2\sqrt{a+b}$.

Поскольку по условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, обе части этого неравенства являются неотрицательными. Это позволяет нам возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{(a+b)^2 + 4})^2 \ge (2\sqrt{a+b})^2$

$(a+b)^2 + 4 \ge 4(a+b)$

Перенесем все члены в левую часть:

$(a+b)^2 - 4(a+b) + 4 \ge 0$

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$((a+b)-2)^2 \ge 0$

Это неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю.

Таким образом, мы доказали цепочку неравенств:

$\sqrt{a^2+1} + \sqrt{b^2+1} \ge \sqrt{(a+b)^2 + 4} \ge 2\sqrt{a+b}$

Отсюда следует, что исходное неравенство $\sqrt{a^2+1} + \sqrt{b^2+1} \ge 2\sqrt{a+b}$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.