Номер 18.62, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.62, страница 184.

Условие.

18.62. На сторонах $AB, BC, CD$ и $DA$ квадрата $ABCD$ соответственно отметили точки $M, N, P$ и $Q$. Докажите, что периметр четырёхугольника $MNPQ$ не меньше суммы диагоналей квадрата.

Решение.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Введем декартову систему координат так, чтобы вершины квадрата имели координаты $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$ и $D(0,a)$. Точки $M, N, P, Q$ лежат на сторонах квадрата, поэтому их координаты можно записать следующим образом:

• $M$ на стороне $AB$: $M = (m, 0)$ для некоторого $0 \le m \le a$.
• $N$ на стороне $BC$: $N = (a, n)$ для некоторого $0 \le n \le a$.
• $P$ на стороне $CD$: $P = (p, a)$ для некоторого $0 \le p \le a$.
• $Q$ на стороне $DA$: $Q = (0, q)$ для некоторого $0 \le q \le a$.

Периметр $P$ четырехугольника $MNPQ$ равен сумме длин его сторон: $P = MN + NP + PQ + QM$. Длину каждой стороны можно выразить как модуль соответствующего вектора:

$P = |\vec{MN}| + |\vec{NP}| + |\vec{PQ}| + |\vec{QM}|$

Найдем компоненты этих векторов:

• $\vec{MN} = (a - m, n)$
• $\vec{NP} = (p - a, a - n)$
• $\vec{PQ} = (-p, q - a)$
• $\vec{QM} = (m, -q)$

Воспользуемся известным неравенством для любого вектора $\vec{v} = (v_x, v_y)$: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}(|v_x| + |v_y|)$. Это неравенство легко доказывается возведением в квадрат обеих частей, что приводит к эквивалентному неравенству $(|v_x| - |v_y|)^2 \ge 0$.

Применив это неравенство к каждой из сторон четырехугольника $MNPQ$, получим:

$P \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \big( (|a-m|+|n|) + (|p-a|+|a-n|) + (|-p|+|q-a|) + (|m|+|-q|) \big)$

Сгруппируем слагаемые, соответствующие проекциям на оси координат:

$P \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \big( (|a-m| + |p-a| + |-p| + |m|) + (|n| + |a-n| + |q-a| + |-q|) \big)$

Раскроем модули. Так как $0 \le m, n, p, q \le a$, знаки выражений под модулями определены:

• Сумма модулей $x$-компонент: $|a-m| + |p-a| + |-p| + |m| = (a-m) + (-(p-a)) + p + m = a - m - p + a + p + m = 2a$.
• Сумма модулей $y$-компонент: $|n| + |a-n| + |q-a| + |-q| = n + (a-n) + (-(q-a)) + q = n + a - n - q + a + q = 2a$.

Подставив значения этих сумм обратно в неравенство для периметра, получаем:

$P \ge \frac{1}{\sqrt{2}}(2a + 2a) = \frac{4a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}a$.

Теперь найдем сумму длин диагоналей квадрата. Длина каждой диагонали в квадрате со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, сумма длин диагоналей $AC + BD = a\sqrt{2} + a\sqrt{2} = 2a\sqrt{2}$.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что периметр четырехугольника $MNPQ$ удовлетворяет неравенству $P \ge 2a\sqrt{2}$, а сумма диагоналей квадрата равна $2a\sqrt{2}$. Следовательно, периметр четырехугольника $MNPQ$ не меньше суммы диагоналей квадрата, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Периметр четырехугольника $MNPQ$ не меньше суммы диагоналей квадрата $ABCD$.