Номер 1, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 1, страница 188.

Условие.

Упражнения

1. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$, то $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge a + b + c$.

Решение.

1.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое гласит: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Поскольку по условию $a > 0, b > 0, c > 0$, все рассматриваемые далее выражения являются положительными.

Применим неравенство Коши к следующим парам чисел:

1) Для пары $\frac{a^2}{b}$ и $b$:

$\frac{a^2}{b} + b \ge 2\sqrt{\frac{a^2}{b} \cdot b} = 2\sqrt{a^2} = 2a$

2) Аналогично для пары $\frac{b^2}{c}$ и $c$:

$\frac{b^2}{c} + c \ge 2\sqrt{\frac{b^2}{c} \cdot c} = 2\sqrt{b^2} = 2b$

3) И для пары $\frac{c^2}{a}$ и $a$:

$\frac{c^2}{a} + a \ge 2\sqrt{\frac{c^2}{a} \cdot a} = 2\sqrt{c^2} = 2c$

Теперь сложим три полученных неравенства:

$(\frac{a^2}{b} + b) + (\frac{b^2}{c} + c) + (\frac{c^2}{a} + a) \ge 2a + 2b + 2c$

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + (a+b+c) \ge 2a + 2b + 2c$

Вычтем из обеих частей неравенства сумму $(a+b+c)$:

$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge 2a + 2b + 2c - (a+b+c)$

$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge a+b+c$

Таким образом, неравенство доказано.

Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда оно достигается во всех трех примененных неравенствах Коши, то есть когда $\frac{a^2}{b}=b$, $\frac{b^2}{c}=c$ и $\frac{c^2}{a}=a$. Это эквивалентно условию $a^2=b^2$, $b^2=c^2$ и $c^2=a^2$. Учитывая, что $a,b,c > 0$, равенство выполняется при $a=b=c$.

Ответ: Что и требовалось доказать.