Номер 7, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 7, страница 189.

Условие.

7. Известно, что $a > 0, b > 0, c > 0$ и $d > 0$. Докажите неравенство:

$\frac{a^2}{b+c+d} + \frac{b^2}{c+d+a} + \frac{c^2}{d+a+b} + \frac{d^2}{a+b+c} \ge \frac{a+b+c+d}{3}$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца в форме Энгеля (также известным как лемма Титу). Для любых действительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ и положительных чисел $y_1, y_2, \dots, y_n$ справедливо неравенство:

$\frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} + \dots + \frac{x_n^2}{y_n} \ge \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2}{y_1 + y_2 + \dots + y_n}$

Обозначим левую часть доказываемого неравенства как $L$:

$L = \frac{a^2}{b+c+d} + \frac{b^2}{c+d+a} + \frac{c^2}{d+a+b} + \frac{d^2}{a+b+c}$

Применим лемму Титу для $n=4$. Положим:

$x_1 = a, x_2 = b, x_3 = c, x_4 = d$

$y_1 = b+c+d, y_2 = c+d+a, y_3 = d+a+b, y_4 = a+b+c$

Поскольку по условию $a, b, c, d > 0$, все $y_i$ также положительны, и мы можем применить неравенство.

Согласно лемме Титу:

$L \ge \frac{(a+b+c+d)^2}{(b+c+d) + (c+d+a) + (d+a+b) + (a+b+c)}$

Вычислим сумму в знаменателе правой части:

$(b+c+d) + (c+d+a) + (d+a+b) + (a+b+c) = 3a + 3b + 3c + 3d = 3(a+b+c+d)$

Подставим это выражение обратно в неравенство:

$L \ge \frac{(a+b+c+d)^2}{3(a+b+c+d)}$

Так как $a, b, c, d > 0$, то их сумма $a+b+c+d > 0$. Мы можем сократить дробь на $a+b+c+d$:

$L \ge \frac{a+b+c+d}{3}$

Таким образом, мы доказали исходное неравенство:

$\frac{a^2}{b+c+d} + \frac{b^2}{c+d+a} + \frac{c^2}{d+a+b} + \frac{d^2}{a+b+c} \ge \frac{a+b+c+d}{3}$

Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $\frac{a}{b+c+d} = \frac{b}{c+d+a} = \frac{c}{d+a+b} = \frac{d}{a+b+c}$, что возможно только при $a=b=c=d$.

Ответ: Неравенство доказано.