Номер 6, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 6, страница 189.

Условие.

6. Докажите, что если $a > 0, b > 0$ и $c > 0$, то $ \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{c+a} + \frac{c^3}{a+b} \ge \frac{a^2+b^2+c^2}{2} $.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского в форме Энгеля (также известным как лемма Титу).

Исходное неравенство:

$\frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{c+a} + \frac{c^3}{a+b} \ge \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

Сначала преобразуем левую часть (ЛЧ) так, чтобы можно было применить лемму. Для этого представим числители в виде квадратов:

$ЛЧ = \frac{a^4}{a(b+c)} + \frac{b^4}{b(c+a)} + \frac{c^4}{c(a+b)} = \frac{(a^2)^2}{ab+ac} + \frac{(b^2)^2}{bc+ba} + \frac{(c^2)^2}{ca+cb}$

Лемма Титу для положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ и $y_1, y_2, \dots, y_n$ утверждает, что:

$\frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} + \dots + \frac{x_n^2}{y_n} \ge \frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)^2}{y_1+y_2+\dots+y_n}$

Применим это неравенство к нашей сумме, положив $n=3$, $x_1=a^2, x_2=b^2, x_3=c^2$ и $y_1=ab+ac, y_2=bc+ba, y_3=ca+cb$. Все $x_i$ и $y_i$ положительны, так как $a, b, c > 0$.

$ЛЧ \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(ab+ac) + (bc+ba) + (ca+cb)}$

Упростим выражение в знаменателе правой части:

$(ab+ac) + (bc+ba) + (ca+cb) = 2ab + 2bc + 2ca = 2(ab+bc+ca)$

Таким образом, мы установили, что:

$ЛЧ \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}$

Теперь, чтобы доказать исходное неравенство, нам достаточно доказать, что:

$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

Поскольку по условию $a, b, c > 0$, то $a^2+b^2+c^2 > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $a^2+b^2+c^2$ и умножить на 2, не меняя знак неравенства:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge 1$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

Это известное неравенство. Докажем его. Перенесём все члены в левую часть и умножим обе части на 2:

$2a^2+2b^2+2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0$

Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов разности:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \ge 0$

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0$

Последнее неравенство является истинным для любых действительных чисел $a, b, c$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а сумма неотрицательных чисел также неотрицательна. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a-b=0, b-c=0, c-a=0$, то есть при $a=b=c$.

Поскольку все шаги доказательства верны, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.