Номер 11, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 11, страница 189.

Условие.

11. Известно, что $x \in [0; 1], y \in [0; 1], z \in [0; 1]$. Докажите неравенство:

$(x+1)(y+1)(z+1) \ge \sqrt{8(x+y)(y+z)(z+x)}$

Решение.

Для доказательства данного неравенства мы воспользуемся тем фактом, что все переменные $x, y, z$ принадлежат отрезку $[0; 1]$. Доказательство будет состоять из двух основных частей: сначала мы докажем вспомогательное неравенство для двух переменных, а затем применим его для получения искомого результата.

Доказательство вспомогательного неравенства

По условию $x \in [0; 1]$ и $y \in [0; 1]$. Это означает, что $x-1 \le 0$ и $y-1 \le 0$. Произведение двух неположительных чисел является неотрицательным:

$(x-1)(y-1) \ge 0$

Раскроем скобки в левой части:

$xy - x - y + 1 \ge 0$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$xy + 1 \ge x + y$

Теперь рассмотрим произведение $(x+1)(y+1)$ и применим к нему полученный результат:

$(x+1)(y+1) = xy + x + y + 1 = (xy+1) + (x+y)$

Используя неравенство $xy + 1 \ge x + y$, мы можем произвести оценку снизу:

$(x+1)(y+1) = (xy+1) + (x+y) \ge (x+y) + (x+y) = 2(x+y)$

Таким образом, мы доказали, что для любых $x, y \in [0; 1]$ справедливо неравенство $(x+1)(y+1) \ge 2(x+y)$.

Завершение доказательства

Поскольку условия для переменных $x, y, z$ одинаковы, мы можем записать три аналогичных неравенства для каждой возможной пары переменных:

$(x+1)(y+1) \ge 2(x+y)$

$(y+1)(z+1) \ge 2(y+z)$

$(z+1)(x+1) \ge 2(z+x)$

Так как $x, y, z \ge 0$, все части этих неравенств являются неотрицательными. Следовательно, мы можем их перемножить, и знак неравенства при этом сохранится.

$(x+1)(y+1) \cdot (y+1)(z+1) \cdot (z+1)(x+1) \ge 2(x+y) \cdot 2(y+z) \cdot 2(z+x)$

Упростим обе части:

$(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2 \ge 8(x+y)(y+z)(z+x)$

Представим левую часть как квадрат произведения:

$((x+1)(y+1)(z+1))^2 \ge 8(x+y)(y+z)(z+x)$

Мы получили неравенство, которое является квадратом исходного неравенства. Обе части исходного неравенства, $(x+1)(y+1)(z+1)$ и $\sqrt{8(x+y)(y+z)(z+x)}$, неотрицательны. Поэтому мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей полученного нами неравенства, что является равносильным преобразованием.

$\sqrt{((x+1)(y+1)(z+1))^2} \ge \sqrt{8(x+y)(y+z)(z+x)}$

$(x+1)(y+1)(z+1) \ge \sqrt{8(x+y)(y+z)(z+x)}$

Таким образом, исходное неравенство полностью доказано.

Ответ: Неравенство доказано.