Номер 18, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 18, страница 190.

Условие.

18. Докажите неравенство $ \frac{a^3}{a^2+b^2} + \frac{b^3}{b^2+c^2} + \frac{c^3}{c^2+a^2} \ge \frac{a+b+c}{2} $, где $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства преобразуем каждое слагаемое в левой части. Рассмотрим первое слагаемое:

$$ \frac{a^3}{a^2 + b^2} = \frac{a(a^2 + b^2) - ab^2}{a^2 + b^2} = a - \frac{ab^2}{a^2 + b^2} $$

Аналогично преобразуем остальные два слагаемых:

$$ \frac{b^3}{b^2 + c^2} = b - \frac{bc^2}{b^2 + c^2} $$

$$ \frac{c^3}{c^2 + a^2} = c - \frac{ca^2}{c^2 + a^2} $$

Теперь левая часть исходного неравенства (ЛЧС) примет вид:

$$ ЛЧС = \left(a - \frac{ab^2}{a^2 + b^2}\right) + \left(b - \frac{bc^2}{b^2 + c^2}\right) + \left(c - \frac{ca^2}{c^2 + a^2}\right) = (a+b+c) - \left(\frac{ab^2}{a^2 + b^2} + \frac{bc^2}{b^2 + c^2} + \frac{ca^2}{c^2 + a^2}\right) $$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$$ (a+b+c) - \left(\frac{ab^2}{a^2 + b^2} + \frac{bc^2}{b^2 + c^2} + \frac{ca^2}{c^2 + a^2}\right) \ge \frac{a+b+c}{2} $$

Перенеся слагаемые, получим эквивалентное неравенство, которое нам предстоит доказать:

$$ \frac{a+b+c}{2} \ge \frac{ab^2}{a^2 + b^2} + \frac{bc^2}{b^2 + c^2} + \frac{ca^2}{c^2 + a^2} $$

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел: $x+y \ge 2\sqrt{xy}$. Так как по условию $a>0, b>0, c>0$, то $a^2>0, b^2>0$.

$$ a^2 + b^2 \ge 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab $$

Отсюда следует, что:

$$ \frac{1}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2ab} $$

Умножим обе части на положительную величину $ab^2$:

$$ \frac{ab^2}{a^2 + b^2} \le \frac{ab^2}{2ab} = \frac{b}{2} $$

По аналогии для двух других слагаемых:

$$ \frac{bc^2}{b^2 + c^2} \le \frac{c}{2} $$

$$ \frac{ca^2}{c^2 + a^2} \le \frac{a}{2} $$

Сложим три полученных неравенства:

$$ \frac{ab^2}{a^2 + b^2} + \frac{bc^2}{b^2 + c^2} + \frac{ca^2}{c^2 + a^2} \le \frac{b}{2} + \frac{c}{2} + \frac{a}{2} $$

$$ \frac{ab^2}{a^2 + b^2} + \frac{bc^2}{b^2 + c^2} + \frac{ca^2}{c^2 + a^2} \le \frac{a+b+c}{2} $$

Мы доказали неравенство, которое эквивалентно исходному. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.