Номер 12, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 12, страница 189.

Условие.

12. Известно, что $x \in [0; 1]$, $y \in [0; 1]$, $z \in [0; 1]$. Докажите неравенство:

$\frac{x}{2+yz} + \frac{y}{2+zx} + \frac{z}{2+xy} \leq 1$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства рассмотрим функцию $L(x, y, z) = \frac{x}{2+yz} + \frac{y}{2+zx} + \frac{z}{2+xy}$ на замкнутом множестве (кубе) $D = [0; 1] \times [0; 1] \times [0; 1]$. Поскольку функция $L(x, y, z)$ непрерывна на этом компакте, она достигает на нем своего наибольшего значения.

Исследуем поведение функции по каждой переменной отдельно. Зафиксируем переменные $y$ и $z$ и рассмотрим функцию одной переменной $x$:

$g(x) = L(x, y, z) = \frac{x}{2+yz} + \frac{y}{2+zx} + \frac{z}{2+xy}$

Найдем вторую производную функции $g(x)$ по переменной $x$:

$g'(x) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{2+yz} + \frac{y}{2+zx} + \frac{z}{2+xy}\right) = \frac{1}{2+yz} - \frac{yz}{(2+zx)^2} - \frac{yz}{(2+xy)^2}$

$g''(x) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{2+yz} - yz(2+zx)^{-2} - yz(2+xy)^{-2} \right) = 0 - yz(-2)(2+zx)^{-3}(z) - yz(-2)(2+xy)^{-3}(y)$

$g''(x) = \frac{2yz^2}{(2+zx)^3} + \frac{2y^2z}{(2+xy)^3}$

Поскольку по условию $x, y, z \in [0; 1]$, все переменные неотрицательны. Знаменатели $(2+zx)^3$ и $(2+xy)^3$ строго положительны. Следовательно, $g''(x) \ge 0$ для всех $x \in [0; 1]$.

Это означает, что функция $g(x)$ является выпуклой вниз на отрезке $[0; 1]$. Максимальное значение выпуклой функции на отрезке достигается на его концах, то есть при $x=0$ или $x=1$.

В силу полной симметрии функции $L(x, y, z)$ относительно ее переменных, аналогичные рассуждения верны и для переменных $y$ и $z$. Таким образом, максимальное значение функции $L(x, y, z)$ на кубе $D$ достигается в одной из его вершин, то есть в точках, где каждая координата равна либо 0, либо 1.

Проверим значения функции $L(x, y, z)$ в 8 вершинах куба:

• Если $(x, y, z) = (0, 0, 0)$, то $L(0, 0, 0) = 0 + 0 + 0 = 0$.
• Если одна из координат равна 1, а две другие — 0 (например, $(1, 0, 0)$), то $L(1, 0, 0) = \frac{1}{2+0} + \frac{0}{2+0} + \frac{0}{2+0} = \frac{1}{2}$. По симметрии, $L(0, 1, 0) = L(0, 0, 1) = \frac{1}{2}$.
• Если две координаты равны 1, а одна — 0 (например, $(1, 1, 0)$), то $L(1, 1, 0) = \frac{1}{2+0} + \frac{1}{2+0} + \frac{0}{2+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 1$. По симметрии, $L(1, 0, 1) = L(0, 1, 1) = 1$.
• Если $(x, y, z) = (1, 1, 1)$, то $L(1, 1, 1) = \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.

Максимальное значение, которое принимает функция $L(x, y, z)$ в вершинах куба, равно 1. Следовательно, для любых $x, y, z \in [0; 1]$ выполняется неравенство:

$\frac{x}{2+yz} + \frac{y}{2+zx} + \frac{z}{2+xy} \le 1$

Ответ: Неравенство доказано.