Номер 17, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 17, страница 189.

Условие.

17. Для положительных чисел $a, b$ и $c$ докажите неравенство:

$\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2} + \frac{b^3+c^3}{b^2+c^2} + \frac{c^3+a^3}{c^2+a^2} \ge a+b+c.$

Решение.

Для доказательства исходного неравенства докажем сначала вспомогательное неравенство. Рассмотрим одно из слагаемых в левой части, например, $\frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2}$. Докажем, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется следующее:

$$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} \ge \frac{a+b}{2} $$

Поскольку по условию $a$ и $b$ — положительные числа, то знаменатель $a^2 + b^2$ и число $2$ также положительны. Умножим обе части неравенства на $2(a^2+b^2)$, при этом знак неравенства не изменится:

$$ 2(a^3 + b^3) \ge (a+b)(a^2+b^2) $$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$$ 2a^3 + 2b^3 \ge a^3 + ab^2 + a^2b + b^3 $$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$$ (2a^3 - a^3) + (2b^3 - b^3) - a^2b - ab^2 \ge 0 $$

$$ a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 \ge 0 $$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$$ a^2(a-b) - b^2(a-b) \ge 0 $$

$$ (a^2 - b^2)(a-b) \ge 0 $$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ (a-b)(a+b)(a-b) \ge 0 $$

$$ (a-b)^2(a+b) \ge 0 $$

Последнее неравенство является верным для любых положительных $a$ и $b$, так как множитель $(a-b)^2$ всегда неотрицателен (как квадрат действительного числа), а множитель $(a+b)$ строго положителен (как сумма положительных чисел). Произведение неотрицательного и положительного числа всегда неотрицательно. Равенство в этом неравенстве достигается только при $a=b$.

Таким образом, вспомогательное неравенство доказано. Теперь применим его к каждому слагаемому из левой части исходного неравенства:

1. Для чисел $a$ и $b$:

$$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} \ge \frac{a+b}{2} $$

2. Аналогично для чисел $b$ и $c$:

$$ \frac{b^3 + c^3}{b^2 + c^2} \ge \frac{b+c}{2} $$

3. И для чисел $c$ и $a$:

$$ \frac{c^3 + a^3}{c^2 + a^2} \ge \frac{c+a}{2} $$

Сложив три полученных верных неравенства, получим:

$$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} + \frac{b^3 + c^3}{b^2 + c^2} + \frac{c^3 + a^3}{c^2 + a^2} \ge \frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{c+a}{2} $$

Преобразуем правую часть этого неравенства:

$$ \frac{a+b+b+c+c+a}{2} = \frac{2a+2b+2c}{2} = \frac{2(a+b+c)}{2} = a+b+c $$

Таким образом, мы приходим к исходному неравенству:

$$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} + \frac{b^3 + c^3}{b^2 + c^2} + \frac{c^3 + a^3}{c^2 + a^2} \ge a+b+c $$

Что и требовалось доказать. Равенство достигается при условии одновременного выполнения равенств во всех трех вспомогательных неравенствах, то есть при $a=b$, $b=c$ и $c=a$, что означает $a=b=c$.

Ответ: Неравенство доказано.