Вопросы?, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - страница 195.

Условие.

Перечислите свойства степенной функции с натуральным чётным показателем; нечётным показателем.

Решение.

с натуральным чётным показателем

Степенная функция с натуральным чётным показателем — это функция вида $y = x^n$, где $n$ — натуральное чётное число (например, $n = 2, 4, 6, \dots$). Её свойства можно обобщить на примере функции $y=x^2$.

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: множество всех неотрицательных чисел, так как любое число в чётной степени неотрицательно. $E(y) = [0; +\infty)$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Нули функции: значение функции равно нулю при $x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = 0$. Максимума у функции нет.
• Ограниченность: функция ограничена снизу (например, числом 0), но не ограничена сверху.

Ответ: Свойства степенной функции с натуральным чётным показателем: область определения — все действительные числа, область значений — неотрицательные числа, функция чётная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, имеет минимум в точке $(0,0)$, ограничена снизу.

нечётным показателем

Степенная функция с натуральным нечётным показателем — это функция вида $y = x^n$, где $n$ — натуральное нечётное число (например, $n = 1, 3, 5, \dots$). Её свойства можно обобщить на примере функции $y=x^3$.

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.
• Чётность: функция является нечётной, так как для любого $x$ из области определения $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: значение функции равно нулю при $x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) при $x>0$ и отрицательные значения ($y<0$) при $x<0$.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.
• Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: Свойства степенной функции с натуральным нечётным показателем: область определения и область значений — все действительные числа, функция нечётная, возрастает на всей области определения, не имеет экстремумов, не ограничена.