Номер 19.7, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.7, страница 195.

Условие.

19.7. Следует ли из неравенства $x_1 > x_2$, что $x_1^n > x_2^n$, если:

1) $n$ — чётное;

2) $n$ — нечётное?

Решение.

1) n — чётное;

Нет, из неравенства $x_1 > x_2$ не всегда следует, что $x_1^n > x_2^n$, если $n$ — чётное натуральное число. Функция $y=x^n$ при чётном $n$ является строго возрастающей только для неотрицательных значений аргумента ($x \ge 0$) и строго убывающей для отрицательных значений ($x \le 0$).

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Пусть $n=2$ (чётное число). Выберем два отрицательных числа: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Неравенство $x_1 > x_2$ выполняется, так как $-2 > -3$.

Теперь возведём оба числа в степень $n=2$:
$x_1^2 = (-2)^2 = 4$
$x_2^2 = (-3)^2 = 9$

Сравнивая результаты, получаем $4 < 9$, то есть $x_1^2 < x_2^2$.

Таким образом, для $x_1=-2$ и $x_2=-3$ из $x_1 > x_2$ не следует, что $x_1^2 > x_2^2$. Утверждение неверно.

Ответ: Нет, не следует.

2) n — нечётное?

Да, из неравенства $x_1 > x_2$ всегда следует, что $x_1^n > x_2^n$, если $n$ — нечётное натуральное число. Это происходит потому, что функция $y=x^n$ при нечётном $n$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Докажем это утверждение. Нам нужно показать, что если $x_1 > x_2$, то $x_1^n - x_2^n > 0$.
Рассмотрим разность $x_1^n - x_2^n$, используя формулу разности степеней:
$x_1^n - x_2^n = (x_1 - x_2)(x_1^{n-1} + x_1^{n-2}x_2 + \dots + x_1x_2^{n-2} + x_2^{n-1})$

По условию $x_1 > x_2$, значит, первый множитель $(x_1 - x_2)$ положителен. Знак разности $x_1^n - x_2^n$ зависит от знака второго множителя. Проанализируем его в различных случаях.

Случай 1: $x_1 > x_2 \ge 0$.
В этом случае $x_1 > 0$, и все слагаемые во втором множителе $(x_1^{n-1} + x_1^{n-2}x_2 + \dots + x_2^{n-1})$ неотрицательны. Первое слагаемое $x_1^{n-1}$ строго положительно, поэтому вся сумма строго положительна. Произведение двух положительных множителей даёт положительный результат, следовательно, $x_1^n - x_2^n > 0$, или $x_1^n > x_2^n$.

Случай 2: $x_1 > 0 > x_2$.
В этом случае $x_1$ — положительное число, а $x_2$ — отрицательное. Так как $n$ — нечётное, то $x_1^n$ будет положительным ($x_1^n > 0$), а $x_2^n$ будет отрицательным ($x_2^n < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $x_1^n > x_2^n$.

Случай 3: $0 \ge x_1 > x_2$.
В этом случае оба числа неположительны. Пусть $y_1 = -x_2$ и $y_2 = -x_1$. Из $x_1 > x_2$ следует, что $-x_1 < -x_2$, то есть $y_2 < y_1$. Также, поскольку $x_1$ и $x_2$ неположительны, $y_1$ и $y_2$ будут неотрицательными, и мы получаем $y_1 > y_2 \ge 0$.
По доказанному в случае 1, из $y_1 > y_2 \ge 0$ следует $y_1^n > y_2^n$.
Так как $n$ — нечётное число, мы можем записать:
$x_1^n = (-y_2)^n = -y_2^n$
$x_2^n = (-y_1)^n = -y_1^n$
Из $y_1^n > y_2^n$, умножив обе части на -1, получаем $-y_1^n < -y_2^n$.
Это означает, что $x_2^n < x_1^n$, или $x_1^n > x_2^n$.

Таким образом, во всех возможных случаях из $x_1 > x_2$ следует, что $x_1^n > x_2^n$, если $n$ — нечётное.

Ответ: Да, следует.