Номер 19.13, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.13, страница 196.

Условие.

19.13. Постройте график функции:

1) $y = x^3 + 3;$

2) $y = (x - 3)^3;$

3) $y = x^4 + 2;$

4) $y = (x + 1)^4;$

5) $y = (x - 1)^3 + 2;$

6) $y = \frac{1}{4}x^3;$

7) $y = -x^4;$

8) $y = (|x| - 2)^3;$

9) $y = |x + 1|^3.$

Решение.

1) $y = x^3 + 3$;

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является кубическая парабола $y = x^3$. График этой функции проходит через начало координат $(0,0)$, точки $(1,1)$, $(-1,-1)$, $(2,8)$, $(-2,-8)$.

Функция $y = x^3 + 3$ имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^3$ и $c=3$. Такое преобразование означает параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y=f(x)$ на $c$ единиц вверх вдоль оси ординат (OY).

Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^3 + 3$, нужно сдвинуть график функции $y = x^3$ на 3 единицы вверх. Центр симметрии (точка перегиба) переместится из точки $(0,0)$ в точку $(0,3)$.

Ответ: График функции $y = x^3 + 3$ получается из графика $y = x^3$ путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси OY.

2) $y = (x - 3)^3$;

В качестве базовой функции снова используем кубическую параболу $y = x^3$.

Заданная функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^3$ и $c=3$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу графика функции $y=f(x)$ на $c$ единиц вправо вдоль оси абсцисс (OX).

Таким образом, для построения графика функции $y = (x - 3)^3$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^3$ на 3 единицы вправо. Центр симметрии графика переместится из точки $(0,0)$ в точку $(3,0)$.

Ответ: График функции $y = (x - 3)^3$ получается из графика $y = x^3$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси OX.

3) $y = x^4 + 2$;

Базовой функцией является $y = x^4$. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси OY, похож на параболу $y=x^2$, но более "плоский" у вершины и круче поднимается по сторонам. Вершина находится в точке $(0,0)$.

Функция $y = x^4 + 2$ имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^4$ и $c=2$. Это означает сдвиг графика базовой функции на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

Чтобы построить график функции $y = x^4 + 2$, нужно сдвинуть график $y = x^4$ на 2 единицы вверх. Вершина графика переместится из $(0,0)$ в $(0,2)$.

Ответ: График функции $y = x^4 + 2$ получается из графика $y = x^4$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

4) $y = (x + 1)^4$;

Базовой функцией является $y = x^4$.

Заданную функцию можно представить в виде $y = (x - (-1))^4$. Это соответствует преобразованию вида $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^4$ и $c=-1$. Такое преобразование означает сдвиг графика базовой функции на $|c|$ единиц влево вдоль оси OX.

Следовательно, для построения графика $y = (x + 1)^4$ нужно сдвинуть график $y = x^4$ на 1 единицу влево. Вершина графика переместится из $(0,0)$ в $(-1,0)$.

Ответ: График функции $y = (x + 1)^4$ получается из графика $y = x^4$ путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси OX.

5) $y = (x - 1)^3 + 2$;

Здесь мы имеем комбинацию двух преобразований базовой функции $y = x^3$.

1. Преобразование аргумента $x \rightarrow x-1$ означает сдвиг графика вправо на 1 единицу. 2. Прибавление константы 2 ко всей функции означает сдвиг графика вверх на 2 единицы.

Таким образом, для построения графика функции $y = (x - 1)^3 + 2$ нужно взять график $y = x^3$ и выполнить параллельный перенос на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Центр симметрии графика переместится из точки $(0,0)$ в точку $(1,2)$.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^3 + 2$ получается из графика $y = x^3$ путем сдвига на 1 единицу вправо и 2 единицы вверх.

6) $y = \frac{1}{4}x^3$;

Базовой функцией является $y = x^3$.

Функция имеет вид $y = a \cdot f(x)$, где $f(x) = x^3$ и $a = \frac{1}{4}$. Поскольку $0 < a < 1$, это преобразование соответствует сжатию графика к оси абсцисс (OX) в $1/a$ раза, то есть в 4 раза.

Для построения графика функции $y = \frac{1}{4}x^3$ нужно ординату (значение y) каждой точки графика $y = x^3$ умножить на $\frac{1}{4}$. Например, точка $(2,8)$ на графике $y=x^3$ перейдет в точку $(2, 8 \cdot \frac{1}{4}) = (2,2)$. Точка $(1,1)$ перейдет в $(1, \frac{1}{4})$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{4}x^3$ получается из графика $y = x^3$ путем сжатия в 4 раза вдоль оси OY.

7) $y = -x^4$;

Базовой функцией является $y = x^4$.

Функция имеет вид $y = -f(x)$, где $f(x) = x^4$. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика базовой функции относительно оси абсцисс (OX).

Следовательно, для построения графика $y = -x^4$ нужно отразить график $y = x^4$ относительно оси OX. Ветви графика, которые были направлены вверх, теперь будут направлены вниз. Вершина останется в точке $(0,0)$.

Ответ: График функции $y = -x^4$ получается из графика $y = x^4$ путем симметричного отражения относительно оси OX.

8) $y = (|x| - 2)^3$;

Это преобразование вида $y = f(|x|)$, где $f(x) = (x-2)^3$.

Для построения такого графика нужно: 1. Построить график функции $y = f(x) = (x - 2)^3$ для $x \ge 0$. Это часть кубической параболы, сдвинутой на 2 единицы вправо. Она начинается в точке $(0, (0-2)^3) = (0, -8)$ и проходит через точку перегиба $(2,0)$. 2. Стереть часть графика, находящуюся в левой полуплоскости ($x < 0$). 3. Отразить оставшуюся часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси OY.

В результате получится четная функция, график которой симметричен относительно оси OY. Он имеет точки перегиба в $(2,0)$ и $(-2,0)$ и локальный минимум в точке $(0,-8)$.

Ответ: График функции $y = (|x| - 2)^3$ строится путем построения графика $y = (x-2)^3$ для $x \ge 0$ и последующего симметричного отражения этой части относительно оси OY.

9) $y = |x + 1|^3$;

Заметим, что $|a|^3 = |a^3|$ для любого действительного числа $a$. Поэтому функцию можно записать как $y = |(x+1)^3|$. Это преобразование вида $y = |f(x)|$, где $f(x) = (x+1)^3$.

Для построения такого графика нужно: 1. Построить график функции $y = (x+1)^3$. Это кубическая парабола $y=x^3$, сдвинутая на 1 единицу влево. Ее центр симметрии находится в точке $(-1,0)$. 2. Часть графика, которая находится над осью OX (где $y \ge 0$), оставить без изменений. Это соответствует $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. 3. Часть графика, которая находится под осью OX (где $y < 0$), отразить симметрично относительно оси OX. Это соответствует $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.

В результате получится график, который совпадает с $y = (x+1)^3$ при $x \ge -1$ и с $y = -(x+1)^3$ при $x < -1$. График имеет "клюв" (точку излома) в точке $(-1,0)$.

Ответ: График функции $y = |x + 1|^3$ получается из графика $y = (x+1)^3$ путем отражения той части графика, что лежит ниже оси OX, симметрично относительно оси OX.