Номер 19.10, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.10, страница 196.

Условие.

19.10. Существует ли чётная функция $f$, определённая на $R$, удовлетворяющая условиям: $f(0) = 0$, $f(-1) = 1$, $f(2) = 1024$?

Решение.

По определению, чётная функция $f$ удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения (в данном случае, для всех $x \in \mathbb{R}$).

Проверим, не противоречат ли заданные условия этому определению. Из условия $f(-1) = 1$ и свойства чётности должно следовать, что $f(1) = f(-1) = 1$. Это значение для $f(1)$ не противоречит другим заданным условиям. Условие $f(0)=0$ также согласуется с определением, так как $f(-0) = f(0)$. Следовательно, на первый взгляд, противоречий нет. Чтобы доказать, что такая функция существует, достаточно привести хотя бы один пример.

Попробуем найти такую функцию в виде степенной функции $f(x) = ax^n$, где $n$ — чётное натуральное число. Такая функция является чётной, так как для чётного $n$ выполняется $f(-x) = a(-x)^n = a(x^n) = f(x)$.

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти коэффициенты $a$ и $n$:

1. Из $f(0) = 0$ следует $a \cdot 0^n = 0$. Это верно для любого $n > 0$.
2. Из $f(-1) = 1$ следует $a \cdot (-1)^n = 1$. Так как мы предположили, что $n$ — чётное число, то $(-1)^n = 1$. Получаем $a \cdot 1 = 1$, откуда $a=1$.
3. Из $f(2) = 1024$ и найденного $a=1$ следует $1 \cdot 2^n = 1024$, то есть $2^n = 1024$.

Решая уравнение $2^n = 1024$, находим $n=10$, поскольку $2^{10} = 1024$. Показатель степени $n=10$ является чётным числом, что соответствует нашему первоначальному предположению.

Таким образом, функция $f(x) = x^{10}$ является кандидатом. Проверим её:

• Она определена на всём множестве действительных чисел $\mathbb{R}$.
• Она является чётной, так как $f(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = f(x)$.
• $f(0) = 0^{10} = 0$.
• $f(-1) = (-1)^{10} = 1$.
• $f(2) = 2^{10} = 1024$.

Все условия задачи выполнены. Следовательно, такая функция существует.

Ответ: существует.