Номер 19.12, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.12, страница 196.

Условие.

19.12. Постройте график функции:

1) $y = x^3 - 1$;

2) $y = (x + 2)^3$;

3) $y = x^4 - 4$;

4) $y = (x - 1)^4$;

5) $y = (x + 1)^4 - 1$;

6) $y = -x^3$;

7) $y = -\frac{1}{2}x^4$;

8) $y = |x^3|$;

9) $y = (|x| + 1)^4$.

Решение.

1) $y = x^3 - 1$

Для построения графика функции $y = x^3 - 1$ воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Сначала построим базовый график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Она проходит через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
2. Исходная функция $y = x^3 - 1$ получается из базовой функции $y = x^3$ путем вычитания 1. Это соответствует сдвигу графика вдоль оси ординат (оси $y$) на 1 единицу вниз.
3. Таким образом, все точки графика $y = x^3$ смещаются на 1 вниз. Точка перегиба $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -1)$. Точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$ переместятся в точки $(-1, -2)$ и $(1, 0)$ соответственно.

Ответ: График функции $y = x^3 - 1$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 1 единицу вниз по оси $y$.

2) $y = (x + 2)^3$

Для построения графика функции $y = (x + 2)^3$ используем преобразование графика базовой функции.
1. Базовой функцией является $y = x^3$. Её график — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
2. Исходная функция имеет вид $y = f(x+a)$, где $f(x) = x^3$ и $a=2$. Такое преобразование соответствует сдвигу графика базовой функции вдоль оси абсцисс (оси $x$) на $a$ единиц влево.
3. Следовательно, чтобы получить график функции $y = (x + 2)^3$, нужно сдвинуть график $y = x^3$ на 2 единицы влево. Точка перегиба $(0, 0)$ переместится в точку $(-2, 0)$. Точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$ переместятся в точки $(-1, 1)$ и $(-3, -1)$ соответственно.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, смещенная на 2 единицы влево по оси $x$.

3) $y = x^4 - 4$

Построим график функции $y = x^4 - 4$ с помощью преобразований.
1. Базовый график — это $y = x^4$. Это четная функция, её график симметричен относительно оси $y$. Он похож на параболу $y=x^2$, но более "плоский" у вершины и круче растет при $|x| > 1$. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Ключевые точки: $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
2. Функция $y = x^4 - 4$ получается из $y = x^4$ вычитанием 4. Это означает сдвиг графика базовой функции на 4 единицы вниз по оси $y$.
3. Таким образом, вершина $(0, 0)$ графика $y = x^4$ смещается в точку $(0, -4)$. Точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ смещаются в точки $(-1, -3)$ и $(1, -3)$.

Ответ: График функции $y = x^4 - 4$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 4 единицы вниз по оси $y$.

4) $y = (x - 1)^4$

Построим график функции $y = (x - 1)^4$ с помощью преобразований.
1. Базовая функция — $y = x^4$. Её график симметричен относительно оси $y$, с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. Исходная функция имеет вид $y = f(x-a)$, где $f(x) = x^4$ и $a=1$. Это соответствует сдвигу графика базовой функции вдоль оси $x$ на $a$ единиц вправо.
3. Чтобы построить график $y = (x - 1)^4$, мы сдвигаем график $y = x^4$ на 1 единицу вправо. Вершина $(0, 0)$ перемещается в точку $(1, 0)$. Точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ перемещаются в точки $(0, 1)$ и $(2, 1)$ соответственно.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^4$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 1 единицу вправо по оси $x$.

5) $y = (x + 1)^4 - 1$

Для построения графика функции $y = (x + 1)^4 - 1$ применим последовательно два преобразования.
1. Базовой функцией является $y = x^4$.
2. Первое преобразование: $y = (x + 1)^4$. Это сдвиг графика $y = x^4$ на 1 единицу влево по оси $x$. Вершина переместится из $(0, 0)$ в $(-1, 0)$.
3. Второе преобразование: $y = (x + 1)^4 - 1$. Это сдвиг полученного на шаге 2 графика на 1 единицу вниз по оси $y$.
4. В результате, вершина графика переместится в точку $(-1, -1)$.

Ответ: График функции $y = (x + 1)^4 - 1$ — это график функции $y = x^4$, смещенный на 1 единицу влево по оси $x$ и на 1 единицу вниз по оси $y$.

6) $y = -x^3$

Построим график функции $y = -x^3$ через преобразование.
1. Базовая функция — $y = x^3$. Её график — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
2. Исходная функция имеет вид $y = -f(x)$, где $f(x) = x^3$. Такое преобразование соответствует симметричному отражению графика базовой функции относительно оси абсцисс (оси $x$).
3. Отражаем график $y = x^3$ относительно оси $x$. Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$, точка $(-1, -1)$ переходит в $(-1, 1)$. Точка $(0, 0)$ остается на месте. Функция становится убывающей на всей области определения.

Ответ: График функции $y = -x^3$ — это график функции $y = x^3$, отраженный симметрично относительно оси $x$.

7) $y = -\frac{1}{2}x^4$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^4$ выполним два преобразования.
1. Базовая функция — $y = x^4$.
2. Первое преобразование: $y = \frac{1}{2}x^4$. Это вертикальное сжатие графика $y = x^4$ в 2 раза. Каждая ордината точки графика умножается на $\frac{1}{2}$. Например, точки $(1, 1)$ и $(2, 16)$ переходят в $(1, \frac{1}{2})$ и $(2, 8)$. График становится более "широким".
3. Второе преобразование: $y = -(\frac{1}{2}x^4)$. Это симметричное отражение графика $y = \frac{1}{2}x^4$ относительно оси $x$.
4. В результате, вершина остается в точке $(0, 0)$, но ветви графика направлены вниз. Точки $(1, \frac{1}{2})$ и $(2, 8)$ переходят в $(1, -\frac{1}{2})$ и $(2, -8)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^4$ — это график функции $y = x^4$, сжатый по вертикали в 2 раза и отраженный симметрично относительно оси $x$.

8) $y = |x^3|$

График функции $y = |x^3|$ строится на основе графика $y = x^3$.
1. Построим график базовой функции $y = x^3$.
2. Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика $f(x)$, которая находится ниже оси $x$ (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси $x$, а часть графика, которая находится выше или на оси $x$ (где $y \ge 0$), остается без изменений.
3. Для функции $y = x^3$:
- При $x \ge 0$, $x^3 \ge 0$, поэтому график $y = |x^3|$ совпадает с графиком $y = x^3$.
- При $x < 0$, $x^3 < 0$, поэтому график $y = |x^3|$ получается отражением графика $y = x^3$ относительно оси $x$. Фактически, для $x<0$ мы строим график $y = -x^3$.
4. В результате, левая ветвь кубической параболы, лежащая в третьей четверти, отражается во вторую четверть. В точке $(0, 0)$ образуется "клюв" (точка излома).

Ответ: График функции $y = |x^3|$ состоит из части графика $y = x^3$ для $x \ge 0$ и части графика $y = -x^3$ для $x < 0$.

9) $y = (|x| + 1)^4$

Для построения графика функции $y = (|x| + 1)^4$ воспользуемся свойством четности и преобразованиями.
1. Заметим, что функция является четной, так как $(|-x| + 1)^4 = (|x| + 1)^4$. Это значит, что её график симметричен относительно оси $y$. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси $y$.
2. Для $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (x + 1)^4$.
3. График функции $y = (x + 1)^4$ — это график $y = x^4$, сдвинутый на 1 единицу влево. Его вершина находится в точке $(-1, 0)$.
4. Мы берем только ту часть графика $y = (x + 1)^4$, которая соответствует условию $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке $(0, (0+1)^4) = (0, 1)$ и идет вверх вправо, проходя через точку $(1, (1+1)^4) = (1, 16)$.
5. Теперь отражаем эту построенную часть графика симметрично относительно оси $y$. Точка $(0, 1)$ остается на месте. Точка $(1, 16)$ отражается в точку $(-1, 16)$.
Итоговый график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $y$, с общей точкой минимума $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = (|x| + 1)^4$ симметричен относительно оси $y$. Он состоит из части графика $y = (x+1)^4$ для $x \ge 0$ и его симметричного отражения относительно оси $y$ для $x < 0$. Минимальное значение функции достигается в точке $(0, 1)$.