Номер 19.19, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.19, страница 197.

Условие.

19.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x^6$ на промежутке:

1) $ [-13; -1] $;

2) $ [-2; 1] $;

3) $ [1; +\infty) $;

4) $ (1; +\infty) $.

Решение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^6$ исследуем ее поведение. Это степенная функция с четным показателем, ее график симметричен относительно оси ординат.Найдем производную функции:$f'(x) = (x^6)' = 6x^5$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$6x^5 = 0 \implies x = 0$. Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 0$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
• При $x > 0$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Таким образом, $x=0$ является точкой глобального минимума функции.

1) $[-13; -1]$Данный промежуток является замкнутым и находится в области убывания функции $(-\infty; 0]$. На замкнутом промежутке, где функция монотонно убывает, она достигает своего наибольшего значения в левом конце, а наименьшего — в правом.Вычислим значения функции на концах промежутка:

• Наибольшее значение: $f(-13) = (-13)^6 = 4\;826\;809$.
• Наименьшее значение: $f(-1) = (-1)^6 = 1$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $4\;826\;809$.

2) $[-2; 1]$Данный промежуток является замкнутым и включает в себя точку минимума $x=0$. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке, необходимо вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.Вычислим значения:

• $f(-2) = (-2)^6 = 64$.
• $f(1) = 1^6 = 1$.
• $f(0) = 0^6 = 0$.

Сравнивая полученные значения $\{64, 1, 0\}$, находим, что наибольшее значение равно 64, а наименьшее равно 0.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $64$.

3) $[1; +\infty)$Данный промежуток является частью промежутка возрастания функции $[0; +\infty)$. Поскольку функция $f(x) = x^6$ на этом промежутке монотонно возрастает, свое наименьшее значение она принимает в самой левой точке промежутка, то есть в $x=1$. Наименьшее значение: $f(1) = 1^6 = 1$. Так как промежуток неограничен справа ($x \to +\infty$) и функция на нем возрастает, то она не ограничена сверху. Следовательно, наибольшего значения не существует.
Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.

4) $(1; +\infty)$На данном открытом промежутке функция $f(x) = x^6$ также является строго возрастающей.Поскольку левая граница $x=1$ не включается в промежуток, функция принимает значения, которые строго больше $f(1)=1$. Значения функции приближаются к 1, но никогда его не достигают. Следовательно, наименьшего значения на данном промежутке не существует (существует только инфимум, равный 1). Так как промежуток неограничен справа и функция на нем возрастает, наибольшего значения также не существует.
Ответ: ни наименьшего, ни наибольшего значения не существует.