Номер 19.24, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.24, страница 197.

Условие.

19.24. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^6$ на промежутке $[a; 2]$.

Решение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^6$ на отрезке $[a; 2]$ необходимо исследовать её поведение, используя производную.

1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^6)' = 6x^5$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$6x^5 = 0 \implies x = 0$.
Единственная критическая точка функции — $x=0$.

3. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом промежутке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому промежутку, либо на его концах. Решение зависит от положения точки $x=0$ относительно отрезка $[a; 2]$. Для существования отрезка должно выполняться условие $a \le 2$. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: $0 < a \le 2$

В этом случае критическая точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[a; 2]$. На данном отрезке производная $f'(x) = 6x^5$ положительна ($f'(x) > 0$ при $x > 0$), следовательно, функция $f(x) = x^6$ монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(a) = a^6$.
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(2) = 2^6 = 64$.

Ответ: наименьшее значение $a^6$, наибольшее значение $64$.

Случай 2: $-2 \le a \le 0$

В этом случае критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[a; 2]$. Необходимо сравнить значения функции на концах отрезка ($x=a$, $x=2$) и в критической точке ($x=0$):
$f(a) = a^6$
$f(0) = 0^6 = 0$
$f(2) = 2^6 = 64$
Поскольку функция $f(x) = x^6$ неотрицательна ($f(x) \ge 0$), а точка $x=0$ принадлежит отрезку, то наименьшее значение функции равно $f(0) = 0$.
Для нахождения наибольшего значения сравним $f(a)$ и $f(2)$. Так как $-2 \le a \le 0$, то $|a| \le 2$, и, следовательно, $a^6 = |a|^6 \le 2^6 = 64$. Таким образом, наибольшее значение равно $64$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $64$.

Случай 3: $a < -2$

В этом случае критическая точка $x=0$ также принадлежит отрезку $[a; 2]$. Сравниваем значения в точках $x=a$, $x=0$ и $x=2$:
$f(a) = a^6$
$f(0) = 0$
$f(2) = 64$
Наименьшее значение, как и в предыдущем случае, равно $f(0)=0$.
Для нахождения наибольшего значения сравним $f(a)$ и $f(2)$. Так как $a < -2$, то $|a| > 2$, и $a^6 = |a|^6 > 2^6 = 64$. Следовательно, наибольшее значение равно $a^6$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $a^6$.