Номер 19.28, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.28, страница 197.

Условие.

19.28. Решите уравнение:

1) $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0;$

2) $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0;$

3) $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0;$

4) $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0;$

5) $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0.$

Решение.

1) $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0$

Уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых (квадратов). Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} (x + y)^2 = 0 \\ (x - 3)^2 = 0 \end{cases}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей каждого уравнения, получаем:

$\begin{cases} x + y = 0 \\ x - 3 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x = 3$. Подставляем это значение в первое уравнение:

$3 + y = 0$

$y = -3$

Ответ: $(3; -3)$.

---

2) $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$

Заметим, что выражение $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x - 2y)^2$.

Перепишем исходное уравнение:

$(x + 2y - 3)^2 + (x - 2y)^2 = 0$

Это уравнение является суммой двух квадратов, которая равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + 2y - 3 = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(2y) + 2y - 3 = 0$

$4y - 3 = 0$

$4y = 3$

$y = \frac{3}{4}$

Теперь найдем $x$:

$x = 2y = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$

Ответ: $(\frac{3}{2}; \frac{3}{4})$.

---

3) $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0$

Уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых (модуля и квадрата). Сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3y - 6 = 0 \\ 9x + 6y - 32 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 3y + 6$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$9(3y + 6) + 6y - 32 = 0$

$27y + 54 + 6y - 32 = 0$

$33y + 22 = 0$

$33y = -22$

$y = -\frac{22}{33} = -\frac{2}{3}$

Теперь найдем $x$:

$x = 3y + 6 = 3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 6 = -2 + 6 = 4$

Ответ: $(4; -\frac{2}{3})$.

---

4) $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0$

Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

$(x^2 + 10x) + (y^2 - 12y) + 61 = 0$

Чтобы выделить полный квадрат для $x$, добавим и вычтем $(\frac{10}{2})^2 = 25$. Чтобы выделить полный квадрат для $y$, добавим и вычтем $(\frac{-12}{2})^2 = 36$.

$(x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 - 12y + 36) - 36 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 - 25 - 36 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 - 61 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = 0$

Получили сумму двух квадратов, которая равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю. Составим систему:

$\begin{cases} x + 5 = 0 \\ y - 6 = 0 \end{cases}$

Из системы находим:

$x = -5$

$y = 6$

Ответ: $(-5; 6)$.

---

5) $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0$

Попробуем сгруппировать слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Заметим, что слагаемые $25x^2$, $-30xy$ и $9y^2$ (часть от $10y^2$) образуют полный квадрат.

Представим $10y^2$ как $9y^2 + y^2$:

$25x^2 - 30xy + 9y^2 + y^2 + 8y + 16 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(25x^2 - 30xy + 9y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0$

Первая скобка является квадратом разности $(5x - 3y)^2$. Вторая скобка является квадратом суммы $(y + 4)^2$.

Уравнение принимает вид:

$(5x - 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю, если каждый из них равен нулю:

$\begin{cases} 5x - 3y = 0 \\ y + 4 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $y = -4$.

Подставим это значение в первое уравнение:

$5x - 3(-4) = 0$

$5x + 12 = 0$

$5x = -12$

$x = -\frac{12}{5}$

Ответ: $(-\frac{12}{5}; -4)$.