Номер 20.4, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.4, страница 203.

Условие.

20.4. Докажите, что функции f и g являются взаимно обратными:

1) $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$, $g(x) = 3x - 1$;

2) $f(x) = \sqrt{x + 2}$, $g(x) = x^2 - 2$, $D(g) = [0; +\infty)$.

Решение.

Чтобы доказать, что две функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, необходимо показать, что выполняются следующие условия:
1. Область определения функции $f$ совпадает с областью значений функции $g$, то есть $D(f) = E(g)$.
2. Область значений функции $f$ совпадает с областью определения функции $g$, то есть $E(f) = D(g)$.
3. Для любого $x$ из области определения $g$ выполняется равенство $f(g(x)) = x$.
4. Для любого $x$ из области определения $f$ выполняется равенство $g(f(x)) = x$.

1) $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}, g(x) = 3x - 1$

Функции $f(x)$ и $g(x)$ являются линейными, поэтому их области определения и области значений — все действительные числа.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$
$D(g) = (-\infty; +\infty)$, $E(g) = (-\infty; +\infty)$
Условия $D(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$ выполнены.

Теперь проверим композиции функций.

Найдём $f(g(x))$:
$f(g(x)) = f(3x - 1) = \frac{(3x - 1)}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = x$

Найдём $g(f(x))$:
$g(f(x)) = g(\frac{x}{3} + \frac{1}{3}) = 3(\frac{x}{3} + \frac{1}{3}) - 1 = (3 \cdot \frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}) - 1 = (x + 1) - 1 = x$

Так как $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$, функции являются взаимно обратными.
Ответ: Доказано.

2) $f(x) = \sqrt{x+2}, g(x) = x^2 - 2, D(g) = [0; +\infty)$

Сначала найдем области определения и области значений для обеих функций.

Для функции $f(x) = \sqrt{x+2}$:
Область определения $D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Таким образом, $D(f) = [-2; +\infty)$.
Область значений $E(f)$: значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $E(f) = [0; +\infty)$.

Для функции $g(x) = x^2 - 2$:
Область определения $D(g)$ задана в условии: $D(g) = [0; +\infty)$.
Область значений $E(g)$: поскольку $x \in [0; +\infty)$, то $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 - 2 \ge -2$. Таким образом, $E(g) = [-2; +\infty)$.

Сравним области:
$D(f) = [-2; +\infty)$ и $E(g) = [-2; +\infty)$. Значит, $D(f) = E(g)$.
$E(f) = [0; +\infty)$ и $D(g) = [0; +\infty)$. Значит, $E(f) = D(g)$.
Условия на области определения и значений выполнены.

Теперь проверим композиции функций.

Найдём $f(g(x))$ для $x \in D(g)$:
$f(g(x)) = f(x^2 - 2) = \sqrt{(x^2-2)+2} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Так как по условию $D(g) = [0; +\infty)$, то $x \ge 0$, и следовательно, $|x| = x$.
Значит, $f(g(x)) = x$.

Найдём $g(f(x))$ для $x \in D(f)$:
$g(f(x)) = g(\sqrt{x+2}) = (\sqrt{x+2})^2 - 2$.
Поскольку для любого $x$ из $D(f) = [-2; +\infty)$ выражение $x+2$ неотрицательно, то $(\sqrt{x+2})^2 = x+2$.
$g(f(x)) = (x+2) - 2 = x$.

Так как все условия выполняются, функции являются взаимно обратными.
Ответ: Доказано.