Номер 19.27, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.27, страница 197.

Условие.

19.27. Известно, что $A \subset B$. Вместо знака * запишите знак $\cup$ или $\cap$ так, чтобы образовалось верное равенство:

1) $A * B = B$;

2) $A * B = A$.

Решение.

По условию задачи дано, что множество $A$ является подмножеством множества $B$, что записывается как $A \subset B$. Это означает, что каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. Нам нужно подставить вместо знака $*$ знак объединения ($\cup$) или пересечения ($\cap$) так, чтобы равенства стали верными.

1) $A * B = B$

Рассмотрим оба варианта операции для равенства $A * B = B$.

• Если в качестве $*$ взять знак объединения ($\cup$), то получим $A \cup B$. Объединение множеств $A$ и $B$ — это множество, которое содержит все элементы из $A$ и все элементы из $B$. Поскольку все элементы $A$ уже содержатся в $B$ (по условию $A \subset B$), то их объединение будет равно самому множеству $B$. Таким образом, равенство $A \cup B = B$ является верным.

• Если в качестве $*$ взять знак пересечения ($\cap$), то получим $A \cap B$. Пересечение множеств $A$ и $B$ — это множество, которое содержит только те элементы, которые принадлежат одновременно и $A$, и $B$. Так как $A$ является подмножеством $B$, то общими для них будут все элементы множества $A$. Следовательно, $A \cap B = A$. Равенство $A \cap B = B$ будет верно только в частном случае, когда $A = B$. В общем случае, когда $A$ — собственное подмножество $B$, оно неверно.

Таким образом, для выполнения равенства $A * B = B$ нужно использовать знак объединения.

Ответ: $A \cup B = B$

2) $A * B = A$

Рассмотрим оба варианта операции для равенства $A * B = A$.

• Если в качестве $*$ взять знак объединения ($\cup$), то, как мы выяснили ранее, $A \cup B = B$. Равенство $A \cup B = A$ будет верным только при условии $A = B$, что не всегда выполняется.

• Если в качестве $*$ взять знак пересечения ($\cap$), то получим $A \cap B$. Как было показано в предыдущем пункте, пересечением множеств $A$ и $B$ при условии $A \subset B$ является множество $A$. Таким образом, равенство $A \cap B = A$ является верным.

Следовательно, для выполнения равенства $A * B = A$ нужно использовать знак пересечения.

Ответ: $A \cap B = A$