Номер 19.23, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.23, страница 197.

Условие.

19.23. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^8$ на промежутке $[-1; a]$.

Решение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^8$ на отрезке $[-1; a]$, необходимо исследовать её поведение в зависимости от параметра $a$. Отрезок определён при $a \ge -1$.

Функция $f(x) = x^8$ является чётной, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; \infty)$. Она имеет единственную критическую точку $x=0$, которая является точкой глобального минимума, $f(0)=0$.

Наименьшее значение

Поиск наименьшего значения $\min_{[-1; a]} f(x)$ сводится к рассмотрению двух случаев, в зависимости от того, принадлежит ли точка минимума $x=0$ отрезку $[-1; a]$.

1. Если $a \ge 0$, то точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; a]$. В этом случае наименьшее значение функции на отрезке равно её значению в точке минимума: $\min_{[-1; a]} f(x) = f(0) = 0$.

2. Если $-1 \le a < 0$, то точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[-1; a]$. На этом отрезке функция $f(x)=x^8$ монотонно убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце отрезка: $\min_{[-1; a]} f(x) = f(a) = a^8$.

Ответ: наименьшее значение функции $f_{min} = \begin{cases} a^8, & \text{если } -1 \le a < 0 \\ 0, & \text{если } a \ge 0 \end{cases}$.

Наибольшее значение

Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке достигается на одном из его концов. Поэтому необходимо сравнить значения $f(-1) = (-1)^8 = 1$ и $f(a) = a^8$. Наибольшее значение равно $\max(1, a^8)$.

1. Если $|a| \le 1$, то $a^8 \le 1$. С учётом условия $a \ge -1$, это соответствует промежутку $-1 \le a \le 1$. На этом промежутке $\max(1, a^8) = 1$.

2. Если $|a| > 1$, то $a^8 > 1$. С учётом условия $a \ge -1$, это соответствует промежутку $a > 1$. На этом промежутке $\max(1, a^8) = a^8$.

Ответ: наибольшее значение функции $f_{max} = \begin{cases} 1, & \text{если } -1 \le a \le 1 \\ a^8, & \text{если } a > 1 \end{cases}$.