Номер 19.16, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.16, страница 196.

Условие.

19.16. Постройте график функции:

1) $y = |x|x^4$;

2) $y = |x|x^4 + x^5$.

Решение.

1) Для построения графика функции $y = |x|x^4$ раскроем модуль $|x|$.

По определению модуля:

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x \cdot x^4 = x^5$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = -x \cdot x^4 = -x^5$.

Таким образом, мы строим график кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} x^5, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для $x \ge 0$ (в правой полуплоскости, включая ось $Oy$) график совпадает с графиком функции $y = x^5$. Это кривая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$ и уходящая вверх.

Для $x < 0$ (в левой полуплоскости) график совпадает с графиком функции $y = -x^5$. Эта часть графика симметрична графику $y=x^5$ для $x<0$ относительно оси $Ox$. Кривая проходит через точку $(-1, 1)$ и приближается к оси $Ox$ при $x \to -\infty$.

Можно также заметить, что функция $y = |x|x^4$ является четной, так как $y(-x) = |-x|(-x)^4 = |x|x^4 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Поэтому можно построить ветвь для $x \ge 0$ ($y=x^5$) и отразить ее симметрично относительно оси $Oy$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x \ge 0$ это график функции $y=x^5$, а для $x < 0$ — график функции $y=-x^5$.

2) Для построения графика функции $y = |x|x^4 + x^5$ также раскроем модуль $|x|$.

По определению модуля:

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x \cdot x^4 + x^5 = x^5 + x^5 = 2x^5$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = -x \cdot x^4 + x^5 = -x^5 + x^5 = 0$.

Таким образом, мы строим график кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 2x^5, & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для $x < 0$ график функции — это луч, совпадающий с отрицательной частью оси абсцисс.

В точке $x=0$ значение функции $y = 2 \cdot 0^5 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

Для $x > 0$ график совпадает с графиком функции $y = 2x^5$. Это кривая, похожая на график $y=x^5$, но растянутая в 2 раза вдоль оси $Oy$. Она проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$ и уходит вверх.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча $y=0$ для $x < 0$ и графика функции $y=2x^5$ для $x \ge 0$.