Номер 19.11, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.11, страница 196.

Условие.

19.11. Существует ли нечётная функция $f$, определённая на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая условиям: $f(0)=0$, $f(-1)=-1$, $f(3)=243$?

Решение.

Да, такая функция существует.

По определению, функция $f$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения должна быть симметрична относительно нуля, что выполняется для $\mathbb{R}$.

Проверим, не противоречат ли заданные условия свойству нечётности.

1. Для любой нечётной функции, определённой в точке 0, должно выполняться $f(0) = -f(-0) = -f(0)$, что равносильно $2f(0)=0$, откуда $f(0)=0$. Условие $f(0)=0$ не противоречит, а является необходимым для нечётной функции.
2. Из условия $f(-1) = -1$ и свойства нечётности следует, что $-f(1) = -1$, то есть $f(1)=1$. Это не создаёт противоречия.
3. Условие $f(3) = 243$ также не создаёт противоречий. Из него следует, что $f(-3) = -f(3) = -243$.

Покажем, что такая функция существует, приведя конкретный пример. Будем искать её в виде степенной функции с нечётным показателем, так как такие функции являются нечётными: $f(x) = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.

Проверим условия:

• $f(0) = 0^n = 0$ — выполняется.
• $f(-1) = (-1)^n = -1$ — выполняется, так как $n$ нечётно.
• $f(3) = 3^n = 243$.

Найдём $n$ из уравнения $3^n = 243$.
Так как $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, то $n=5$.

Показатель степени $n=5$ является нечётным числом. Таким образом, функция $f(x) = x^5$ является нечётной, определена на $\mathbb{R}$ и удовлетворяет всем заданным условиям.

Ответ: да, существует, например, функция $f(x)=x^5$.