Номер 19.5, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.5, страница 195.

Условие.

19.5. Следует ли из равенства $x_1^n = x_2^n$, что $x_1 = x_2$, если:

1) $n$ — чётное;

2) $n$ — нечётное?

Решение.

1) n – чётное;

Нет, не следует. Если $n$ — чётное число, то для любого действительного числа $a$ выполняется равенство $(-a)^n = a^n$. Это происходит потому, что при возведении отрицательного числа в чётную степень результат всегда положителен. Следовательно, можно взять два различных противоположных числа, например, $x_1 = a$ и $x_2 = -a$ (при $a \neq 0$). Для них будет выполняться равенство $x_1^n = a^n$ и $x_2^n = (-a)^n = a^n$, то есть $x_1^n = x_2^n$. Однако при этом $x_1 \neq x_2$.

Например, рассмотрим $n=2$. Пусть $x_1=3$ и $x_2=-3$. Тогда $x_1^2 = 3^2 = 9$ и $x_2^2 = (-3)^2 = 9$. Равенство $x_1^2 = x_2^2$ выполняется, но очевидно, что $3 \neq -3$. Таким образом, из $x_1^n = x_2^n$ при чётном $n$ не следует, что $x_1 = x_2$.

Ответ: не следует.

2) n – нечётное?

Да, следует. Функция $y(x) = x^n$ при нечётном натуральном $n$ является строго монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что большему значению аргумента всегда соответствует большее значение функции. Формально, для любых $x_1$ и $x_2$:

• Если $x_1 > x_2$, то $x_1^n > x_2^n$.
• Если $x_1 < x_2$, то $x_1^n < x_2^n$.

Из этого следует, что равенство $x_1^n = x_2^n$ возможно тогда и только тогда, когда $x_1 = x_2$.

Кроме того, при возведении в нечётную степень знак числа сохраняется. Если $x_1$ и $x_2$ имеют разные знаки (например, $x_1 > 0$ и $x_2 < 0$), то $x_1^n > 0$, а $x_2^n < 0$, и равенство $x_1^n = x_2^n$ невозможно. Если же знаки одинаковы, то равенство степеней возможно только при равенстве оснований. Следовательно, из $x_1^n = x_2^n$ при нечётном $n$ всегда следует, что $x_1 = x_2$.

Ответ: следует.