Номер 19.8, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.8, страница 196.

Условие.

19.8. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение:

1) $x^{12} = a - 6;$

2) $x^{24} = a^2 + 7a - 8?$

Решение.

1) $x^{12} = a - 6$

Данное уравнение имеет вид $x^{2k} = C$, где $2k = 12$ (четная степень) и $C = a - 6$. Количество действительных корней такого уравнения зависит от знака выражения $C$.

Рассмотрим три случая:

1. Если правая часть уравнения положительна, то есть $a - 6 > 0$, или $a > 6$.
В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt[12]{a-6}$ и $x_2 = -\sqrt[12]{a-6}$.

2. Если правая часть уравнения равна нулю, то есть $a - 6 = 0$, или $a = 6$.
В этом случае уравнение принимает вид $x^{12} = 0$ и имеет один корень: $x = 0$.

3. Если правая часть уравнения отрицательна, то есть $a - 6 < 0$, или $a < 6$.
В этом случае уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень любого действительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: если $a > 6$, то 2 корня; если $a = 6$, то 1 корень; если $a < 6$, то корней нет.

2) $x^{24} = a^2 + 7a - 8$

Это уравнение также имеет вид $x^{2k} = C$, где $2k = 24$ (четная степень) и $C = a^2 + 7a - 8$. Количество действительных корней зависит от знака выражения $C$.

Проанализируем знак квадратного трехчлена $a^2 + 7a - 8$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 + 7a - 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $-8$. Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -8$.

Парабола $y = a^2 + 7a - 8$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $a^2$ положителен). Значит, выражение $a^2 + 7a - 8$ будет:
- положительным ($>0$), когда $a$ находится вне интервала между корнями, то есть $a \in (-\infty, -8) \cup (1, +\infty)$;
- равным нулю ($=0$), когда $a$ совпадает с одним из корней, то есть $a = -8$ или $a = 1$;
- отрицательным ($<0$), когда $a$ находится между корнями, то есть $a \in (-8, 1)$.

Теперь определим количество корней исходного уравнения в зависимости от значения $a$.

1. Если $a^2 + 7a - 8 > 0$, то есть $a < -8$ или $a > 1$.
В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \pm \sqrt[24]{a^2 + 7a - 8}$.

2. Если $a^2 + 7a - 8 = 0$, то есть $a = -8$ или $a = 1$.
В этом случае уравнение принимает вид $x^{24} = 0$ и имеет один корень: $x = 0$.

3. Если $a^2 + 7a - 8 < 0$, то есть $-8 < a < 1$.
В этом случае уравнение не имеет действительных корней, так как левая часть $x^{24}$ всегда неотрицательна.

Ответ: если $a \in (-\infty, -8) \cup (1, +\infty)$, то 2 корня; если $a = -8$ или $a = 1$, то 1 корень; если $a \in (-8, 1)$, то корней нет.