Номер 19.3, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.3, страница 195.

Условие.

19.3. Функция задана формулой $f(x) = x^{20}$. Сравните:

1) $f(3,6)$ и $f(4,2)$;

2) $f(-6,7)$ и $f(-5,8)$;

3) $f(-2,4)$ и $f(2,4)$;

4) $f(-15)$ и $f(2)$.

Решение.

Функция задана формулой $f(x) = x^{20}$. Показатель степени 20 является четным числом. Это означает, что функция $f(x)$ является четной, то есть $f(-x) = (-x)^{20} = x^{20} = f(x)$ для любого $x$. Также эта функция является убывающей на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастающей на промежутке $[0; +\infty)$.

1) $f(3,6)$ и $f(4,2)$

Аргументы функции $x_1 = 3,6$ и $x_2 = 4,2$ принадлежат промежутку возрастания функции $[0; +\infty)$. Поскольку $3,6 < 4,2$, то для возрастающей функции выполняется неравенство $f(3,6) < f(4,2)$.

Проверим: $f(3,6) = (3,6)^{20}$, $f(4,2) = (4,2)^{20}$. Так как основания степеней положительны и $3,6 < 4,2$, то $(3,6)^{20} < (4,2)^{20}$.

Ответ: $f(3,6) < f(4,2)$.

2) $f(-6,7)$ и $f(-5,8)$

Аргументы функции $x_1 = -6,7$ и $x_2 = -5,8$ принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 0]$. Поскольку $-6,7 < -5,8$, то для убывающей функции выполняется обратное неравенство: $f(-6,7) > f(-5,8)$.

Другой способ — использовать свойство четности функции $f(-x) = f(x)$:
$f(-6,7) = (-6,7)^{20} = (6,7)^{20}$.
$f(-5,8) = (-5,8)^{20} = (5,8)^{20}$.
Теперь нужно сравнить $(6,7)^{20}$ и $(5,8)^{20}$. Так как $6,7 > 5,8$ и функция $y=x^{20}$ возрастает для положительных $x$, то $(6,7)^{20} > (5,8)^{20}$.
Следовательно, $f(-6,7) > f(-5,8)$.

Ответ: $f(-6,7) > f(-5,8)$.

3) $f(-2,4)$ и $f(2,4)$

Функция $f(x) = x^{20}$ является четной, так как показатель степени 20 — четное число. По определению четной функции $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.

Поэтому $f(-2,4) = f(2,4)$.
Действительно, $f(-2,4) = (-2,4)^{20} = (2,4)^{20} = f(2,4)$.

Ответ: $f(-2,4) = f(2,4)$.

4) $f(-15)$ и $f(2)$

Воспользуемся свойством четности функции: $f(-15) = (-15)^{20} = (15)^{20}$.

Теперь необходимо сравнить $f(-15) = (15)^{20}$ и $f(2) = 2^{20}$.

Так как основания степеней положительны и $15 > 2$, то при возведении в одну и ту же положительную степень 20 неравенство сохранится: $(15)^{20} > 2^{20}$.

Следовательно, $f(-15) > f(2)$.

Ответ: $f(-15) > f(2)$.