Номер 19.6, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.6, страница 195.

Условие.

19.6. Следует ли из неравенства $x_1^n > x_2^n$, что $x_1 > x_2$, если:

1) $n$ — чётное;

2) $n$ — нечётное?

Решение.

1) n – чётное;

Рассмотрим функцию $y = x^n$, где $n$ – натуральное чётное число. Такая функция не является монотонной на всей области определения. Она убывает при $x \in (-\infty, 0]$ и возрастает при $x \in [0, +\infty)$. Это означает, что большему значению функции не всегда соответствует большее значение аргумента.

Чтобы доказать, что из неравенства $x_1^n > x_2^n$ не всегда следует $x_1 > x_2$ при чётном $n$, достаточно привести контрпример.

Пусть $n = 2$ (чётное число). Возьмём $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
Проверим истинность неравенства $x_1^n > x_2^n$:
$(-5)^2 > 3^2$
$25 > 9$ (неравенство верное).

Теперь проверим, выполняется ли при этом неравенство $x_1 > x_2$:
$-5 > 3$ (неравенство неверное).

Так как нашёлся пример, в котором из верного неравенства $x_1^n > x_2^n$ не следует верное неравенство $x_1 > x_2$, то в общем случае для чётных $n$ такое следствие неверно.

Ответ: нет, не следует.

2) n – нечётное?

Рассмотрим функцию $y = x^n$, где $n$ – натуральное нечётное число. Такая функция является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

Свойство строгого возрастания функции означает, что для любых двух различных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и наоборот. То есть, неравенство $x_1 > x_2$ равносильно неравенству $x_1^n > x_2^n$.

Следовательно, если выполняется неравенство $x_1^n > x_2^n$, то из него однозначно следует, что $x_1 > x_2$.

Докажем это методом от противного. Допустим, что $x_1^n > x_2^n$, но при этом $x_1 \le x_2$.
1. Если $x_1 = x_2$, то должно быть $x_1^n = x_2^n$, что противоречит исходному условию $x_1^n > x_2^n$.
2. Если $x_1 < x_2$, то в силу строгого возрастания функции $y=x^n$ при нечётном $n$ должно выполняться неравенство $x_1^n < x_2^n$, что также противоречит исходному условию $x_1^n > x_2^n$.
Так как оба варианта предположения $x_1 \le x_2$ приводят к противоречию, оно неверно. Значит, верно утверждение $x_1 > x_2$.

Ответ: да, следует.