Номер 19.4, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.4, страница 195.

Условие.

19.4. Функция задана формулой $f(x) = x^{50}$. Сравните:

1) $f(9,2)$ и $f(8,5)$;

2) $f(-1,1)$ и $f(-1,2)$;

3) $f(19)$ и $f(-19)$;

4) $f(-7)$ и $f(9)$.

Решение.

Функция задана формулой $f(x) = x^{50}$. Показатель степени 50 — четное число. Это означает, что данная функция является четной, то есть $f(-x) = (-x)^{50} = x^{50} = f(x)$ для любого значения $x$.

Проанализируем монотонность функции:

• На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает. Это значит, что для любых $x_2 > x_1 \ge 0$ выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.
• На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает. Это значит, что для любых $x_1 < x_2 \le 0$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Используем эти свойства для сравнения значений функции.

1) Сравним $f(9.2)$ и $f(8.5)$.

Аргументы $9.2$ и $8.5$ являются положительными числами. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $f(x) = x^{50}$ возрастает. Поскольку $9.2 > 8.5$, то и значение функции в точке $9.2$ будет больше, чем в точке $8.5$.
$f(9.2) = 9.2^{50}$, $f(8.5) = 8.5^{50}$. Так как основание степени $9.2$ больше основания $8.5$, то $9.2^{50} > 8.5^{50}$.
Следовательно, $f(9.2) > f(8.5)$.

Ответ: $f(9.2) > f(8.5)$.

2) Сравним $f(-1.1)$ и $f(-1.2)$.

Аргументы $-1.1$ и $-1.2$ являются отрицательными числами. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $f(x) = x^{50}$ убывает. Поскольку $-1.2 < -1.1$, то для убывающей функции значение в точке $-1.2$ будет больше, чем в точке $-1.1$.
Другой способ — использовать свойство четности функции:$f(-1.1) = (-1.1)^{50} = 1.1^{50}$.
$f(-1.2) = (-1.2)^{50} = 1.2^{50}$.
Теперь сравним $1.1^{50}$ и $1.2^{50}$. Так как $1.2 > 1.1$ и функция возрастает для положительных аргументов, то $1.2^{50} > 1.1^{50}$.
Следовательно, $f(-1.2) > f(-1.1)$.

Ответ: $f(-1.1) < f(-1.2)$.

3) Сравним $f(19)$ и $f(-19)$.

Так как функция $f(x) = x^{50}$ является четной, то по определению $f(x) = f(-x)$ для любого $x$.
Подставив $x = 19$, получаем $f(19) = f(-19)$.
Действительно, $f(19) = 19^{50}$ и $f(-19) = (-19)^{50} = 19^{50}$.

Ответ: $f(19) = f(-19)$.

4) Сравним $f(-7)$ и $f(9)$.

Используем свойство четности функции для $f(-7)$:
$f(-7) = (-7)^{50} = 7^{50}$.
Теперь задача сводится к сравнению $f(7) = 7^{50}$ и $f(9) = 9^{50}$.
Аргументы $7$ и $9$ — положительные числа. На этом промежутке функция возрастает. Так как $9 > 7$, то $f(9) > f(7)$.
Значит, $9^{50} > 7^{50}$.
Следовательно, $f(9) > f(-7)$.

Ответ: $f(-7) < f(9)$.