Номер 19.9, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.9, страница 196.

Условие.

19.9. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $x^8 = 9a - a^3$?

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^8 = C$, где $C = 9a - a^3$. Левая часть уравнения, $x^8$, неотрицательна для любого действительного значения $x$, так как показатель степени 8 является четным числом. Следовательно, количество действительных корней уравнения зависит от знака выражения в правой части $C = 9a - a^3$.

1. Если правая часть строго положительна ($9a - a^3 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Решим это неравенство:
$a(9 - a^2) > 0$
$a(3 - a)(3 + a) > 0$
Используя метод интервалов, находим, что данное неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$.

2. Если правая часть равна нулю ($9a - a^3 = 0$), уравнение имеет один корень. Решим это уравнение:
$a(3 - a)(3 + a) = 0$
Корнями являются $a = -3$, $a = 0$ и $a = 3$. При этих значениях параметра уравнение принимает вид $x^8 = 0$, который имеет единственный корень $x=0$.

3. Если правая часть отрицательна ($9a - a^3 < 0$), уравнение не имеет действительных корней, так как $x^8$ не может быть отрицательным. Решим это неравенство:
$a(3 - a)(3 + a) < 0$
Из анализа методом интервалов следует, что неравенство выполняется при $a \in (-3, 0) \cup (3, \infty)$.

Соберем все полученные результаты в итоговый ответ.

Ответ:
- если $a \in (-3, 0) \cup (3, \infty)$, то корней нет;
- если $a \in \{-3, 0, 3\}$, то один корень;
- если $a \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$, то два корня.