Номер 19.15, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.15, страница 196.

Условие.

19.15. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 0, \\ -\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$ Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Решение.

Заданная функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 0 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для решения задачи необходимо сначала построить график этой функции, а затем, анализируя его, найти промежутки, на которых функция возрастает и убывает.

1. Построение графика функции

График функции состоит из двух частей, соответствующих двум разным формулам на разных участках области определения.

• При $x < 0$, функция задается формулой $y = x^3$. Это левая ветвь кубической параболы. Она расположена в третьей координатной четверти. Для построения найдем несколько контрольных точек:
  - если $x = -2$, то $y = (-2)^3 = -8$;
  - если $x = -1$, то $y = (-1)^3 = -1$;
  - при приближении $x$ к $0$ с левой стороны ($x \to 0^-$), $y$ также стремится к $0$.
• При $x \ge 0$, функция задается формулой $y = -\sqrt{x}$. Этот график является ветвью параболы, симметричной графику $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (Ox). Он начинается в точке $(0, 0)$ и расположен в четвертой координатной четверти. Найдем несколько контрольных точек:
  - если $x = 0$, то $y = -\sqrt{0} = 0$;
  - если $x = 1$, то $y = -\sqrt{1} = -1$;
  - если $x = 4$, то $y = -\sqrt{4} = -2$.

Совместив обе части на одной координатной плоскости, мы получим полный график функции $f(x)$. График является непрерывным, так как обе ветви соединяются в точке $(0, 0)$.

2. Определение промежутков возрастания и убывания

Теперь проанализируем построенный график.

промежутки возрастания

Функция возрастает на том промежутке, где при движении по графику слева направо он идет вверх. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. На нашем графике это происходит для всех $x$ от $-\infty$ до $0$. Включая точку $x=0$, так как для любого $x < 0$ выполняется $f(x) < f(0)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.

промежутки убывания

Функция убывает на том промежутке, где при движении по графику слева направо он идет вниз. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. На нашем графике это происходит для всех $x$ от $0$ до $+\infty$. Включая точку $x=0$, так как для любого $x > 0$ выполняется $f(x) < f(0)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.