Номер 19.17, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.17, страница 196.

Условие.

19.17. Постройте график функции:

1) $y = |x|x^3$;

2) $y = |x|x^4 - x^5$.

Решение.

1) Рассмотрим функцию $y = |x|x^3$.

Для построения графика необходимо раскрыть модуль $|x|$, который определяется по-разному в зависимости от знака $x$.

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставляя это в исходное уравнение, получаем:
  $y = x \cdot x^3 = x^4$.

• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставляя это, получаем:
  $y = (-x) \cdot x^3 = -x^4$.

Таким образом, исходная функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} x^4, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^4, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Теперь построим график, состоящий из двух частей:

1. Для всех неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$) строим график функции $y=x^4$. Это ветвь параболы четвертой степени, которая находится в первой координатной четверти и проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

2. Для всех отрицательных значений $x$ ($x < 0$) строим график функции $y=-x^4$. Эта кривая является отражением графика $y=x^4$ относительно оси абсцисс ($Ox$). Она находится в третьей координатной четверти и проходит через точку $(-1, -1)$.

Объединение этих двух частей дает итоговый график функции.

Ответ: График функции состоит из двух частей, стыкующихся в начале координат: при $x \ge 0$ это график функции $y=x^4$, при $x < 0$ — график функции $y=-x^4$. График представлен на рисунке выше.

---

2) Рассмотрим функцию $y = |x|x^4 - x^5$.

Так же, как и в предыдущем задании, раскроем модуль $|x|$.

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
  $y = x \cdot x^4 - x^5 = x^5 - x^5 = 0$.

• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
  $y = (-x) \cdot x^4 - x^5 = -x^5 - x^5 = -2x^5$.

Следовательно, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x^5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно:

1. Для всех $x \ge 0$ график функции совпадает с лучом $y=0$, то есть с неотрицательной частью оси абсцисс ($Ox$).

2. Для всех $x < 0$ строим график функции $y=-2x^5$. Эта кривая проходит через второй и третий координатные квадранты. Так как $x$ отрицателен, $x^5$ также будет отрицателен, а $-2x^5$ — положителен. График выходит из второй четверти, проходит через точку $(-1, -2(-1)^5) = (-1, 2)$ и плавно приближается к началу координат $(0, 0)$.

В точке $x=0$ обе части графика соединяются, так как $\lim_{x \to 0^-} (-2x^5) = 0$, что равно значению функции $y=0$ при $x \ge 0$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: при $x \ge 0$ это луч $y=0$ (неотрицательная часть оси $Ox$), а при $x < 0$ — график функции $y=-2x^5$. График представлен на рисунке выше.