Номер 19.20, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.20, страница 197.

Условие.

19.20. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени n функции $f(x) = x^n$, если:

1) $f(-4) > f(-2)$;

2) $f(-4) < f(2)$;

3) $f(-4) < f(-2)$;

4) $f(4) > f(2)$;

5) $f(-4) > f(2)$;

6) $f(4) > f(-2)?$

Решение.

Для решения задачи проанализируем свойства степенной функции $f(x) = x^n$ в зависимости от чётности натурального показателя $n$.

• Если $n$ — чётное натуральное число, то функция $f(x) = x^n$ является чётной ($f(-x) = f(x)$). Она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Значения функции неотрицательны для любого $x$.
• Если $n$ — нечётное натуральное число, то функция $f(x) = x^n$ является нечётной ($f(-x) = -f(x)$). Она возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Значения функции отрицательны при $x < 0$ и положительны при $x > 0$.

Теперь рассмотрим каждое условие отдельно.

1) $f(-4) > f(-2)$

Данное неравенство означает $(-4)^n > (-2)^n$. Аргументы функции, $-4$ и $-2$, принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$.

Если $n$ — чётное, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает. Так как $-4 < -2$, то по определению убывающей функции $f(-4) > f(-2)$. Это соответствует условию.

Если $n$ — нечётное, то функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой. Так как $-4 < -2$, то должно выполняться $f(-4) < f(-2)$. Это противоречит условию.

Следовательно, показатель степени $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

2) $f(-4) < f(2)$

Неравенство принимает вид $(-4)^n < 2^n$.

Если $n$ — чётное, то $(-4)^n = 4^n$. Неравенство становится $4^n < 2^n$. Так как $4 > 2$, а $n$ — натуральное число, то $4^n > 2^n$. Условие не выполняется.

Если $n$ — нечётное, то $(-4)^n = -4^n$. Неравенство становится $-4^n < 2^n$. Это верно для любого натурального $n$, так как левая часть отрицательна, а правая — положительна.

Следовательно, показатель степени $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.

3) $f(-4) < f(-2)$

Данное неравенство означает $(-4)^n < (-2)^n$. Аргументы функции, $-4$ и $-2$, принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$.

Если $n$ — чётное, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает. Так как $-4 < -2$, то $f(-4) > f(-2)$. Это противоречит условию.

Если $n$ — нечётное, то функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой. Так как $-4 < -2$, то $f(-4) < f(-2)$. Это соответствует условию.

Следовательно, показатель степени $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.

4) $f(4) > f(2)$

Неравенство принимает вид $4^n > 2^n$. Аргументы функции, $4$ и $2$, принадлежат промежутку $(0; +\infty)$.

На этом промежутке степенная функция $f(x) = x^n$ с натуральным показателем $n$ всегда возрастает, независимо от чётности $n$.

Так как $4 > 2$, неравенство $f(4) > f(2)$ будет верным для любого натурального $n$. Поэтому данное условие не позволяет определить чётность $n$.

Ответ: определить чётность невозможно.

5) $f(-4) > f(2)$

Неравенство принимает вид $(-4)^n > 2^n$.

Если $n$ — чётное, то $(-4)^n = 4^n$. Неравенство становится $4^n > 2^n$. Это верно, так как $4 > 2$ и $n$ — натуральное число.

Если $n$ — нечётное, то $(-4)^n = -4^n$. Неравенство становится $-4^n > 2^n$. Это неверно, так как левая часть отрицательна, а правая — положительна.

Следовательно, показатель степени $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

6) $f(4) > f(-2)$

Неравенство принимает вид $4^n > (-2)^n$.

Если $n$ — чётное, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство становится $4^n > 2^n$. Это верно для любого натурального $n$.

Если $n$ — нечётное, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство становится $4^n > -2^n$. Это также верно, так как левая часть положительна, а правая — отрицательна.

Поскольку неравенство справедливо для любого натурального $n$, на основании данного условия невозможно определить чётность показателя $n$.

Ответ: определить чётность невозможно.