Номер 19.21, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.21, страница 197.

Условие.

19.21. Решите уравнение:

1) $x^{11} + x^3 = 2;$

2) $2x^4 + x^{10} = 3.$

Решение.

1) $x^{11} + x^3 = 2$

Заметим, что $x=1$ является корнем данного уравнения, так как при подстановке этого значения в уравнение получается верное равенство: $1^{11} + 1^3 = 1 + 1 = 2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{11} + x^3$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^{11} + x^3)' = 11x^{10} + 3x^2$.

Проанализируем знак производной. Так как $x^{10} \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $f'(x) = 11x^{10} + 3x^2 \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Производная равна нулю только при $x=0$.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой, функция $f(x)$ является монотонно возрастающей. Монотонно возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз. Следовательно, уравнение $f(x) = 2$ может иметь не более одного корня.

Так как мы уже нашли корень $x=1$, он является единственным.

Ответ: 1.

2) $2x^4 + x^{10} = 3$

Перепишем уравнение в виде $x^{10} + 2x^4 - 3 = 0$.

Методом подбора находим целые корни.

При $x=1$: $2 \cdot 1^4 + 1^{10} = 2 + 1 = 3$. Значит, $x=1$ является корнем уравнения.

При $x=-1$: $2 \cdot (-1)^4 + (-1)^{10} = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Значит, $x=-1$ также является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию $g(x) = 2x^4 + x^{10}$. Поскольку все степени переменной $x$ четные, функция является четной, то есть $g(x) = g(-x)$. Это объясняет, почему вместе с корнем $x=1$ мы получили корень $x=-1$.

Исследуем поведение функции на промежутке $[0, +\infty)$. Найдем ее производную:

$g'(x) = (2x^4 + x^{10})' = 8x^3 + 10x^9 = 2x^3(4 + 5x^6)$.

При $x > 0$ оба множителя $2x^3$ и $(4 + 5x^6)$ положительны, следовательно, $g'(x) > 0$. Это означает, что на промежутке $(0, +\infty)$ функция $g(x)$ строго возрастает.

Поскольку функция $g(x)$ строго возрастает при $x > 0$, она может принять значение 3 только один раз. Мы уже нашли, что это происходит при $x=1$. Следовательно, $x=1$ — единственный положительный корень.

Так как функция $g(x)$ четная, то для каждого положительного корня $x_0$ существует симметричный ему отрицательный корень $-x_0$. Поскольку $x=1$ является единственным положительным корнем, то $x=-1$ является единственным отрицательным корнем. При $x=0$, $g(0) = 0 \neq 3$.

Таким образом, уравнение имеет только два действительных корня.

Ответ: -1; 1.