Номер 19.25, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 19. Степенная функция с натуральным показателем - номер 19.25, страница 197.

Условие.

19.25. Решите уравнение $5x^{17} - 3x^8 = 2$.

Решение.

Дано уравнение: $5x^{17} - 3x^8 = 2$.

Вначале проверим, есть ли у уравнения простые целочисленные корни. Подставим $x=1$:
$5 \cdot 1^{17} - 3 \cdot 1^8 = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 2$.
Равенство $2 = 2$ является верным, следовательно, $x=1$ — корень уравнения.

Теперь докажем, что этот корень является единственным. Для этого введем функцию $f(x) = 5x^{17} - 3x^8$ и исследуем ее на монотонность. Уравнение примет вид $f(x) = 2$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (5x^{17} - 3x^8)' = 5 \cdot 17x^{16} - 3 \cdot 8x^7 = 85x^{16} - 24x^7$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$85x^{16} - 24x^7 = 0$
$x^7(85x^9 - 24) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$.

Определим знак производной $f'(x)$ на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось:
1. При $x < 0$: множитель $x^7$ отрицателен ($x^7 < 0$), и множитель $(85x^9 - 24)$ также отрицателен (так как $x^9 < 0$). Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит $f'(x) > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, 0)$ функция $f(x)$ строго возрастает. Поскольку $f(0) = 0$, то для любого $x < 0$ значение $f(x) < 0$. Таким образом, на этом промежутке уравнение $f(x)=2$ корней не имеет.

2. При $x > 0$: заметим, что $0 < \frac{24}{85} < 1$, поэтому $0 < x_2 < 1$.
- На интервале $(0, \sqrt[9]{\frac{24}{85}})$: множитель $x^7 > 0$, а множитель $(85x^9 - 24) < 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает. Так как $f(0)=0$, на этом интервале значения функции отрицательны, и корней нет.
- На интервале $(\sqrt[9]{\frac{24}{85}}, +\infty)$: оба множителя $x^7$ и $(85x^9 - 24)$ положительны. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ строго возрастает.

Поскольку на интервале $(\sqrt[9]{\frac{24}{85}}, +\infty)$ функция строго возрастает, она может принимать значение $2$ не более одного раза. Мы уже нашли корень $x=1$, который принадлежит этому интервалу (так как $1 > \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$). Значит, $x=1$ является единственным корнем на этом интервале.

Таким образом, проанализировав все участки числовой оси, мы заключаем, что уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x=1$.