Вопросы?, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - страница 201.

Условие.

1. Какую функцию называют обратимой?

2. Какие функции называют взаимно обратными?

3. Каким свойством обладают графики взаимно обратных функций?

Решение.

1. Какую функцию называют обратимой?

Функцию $y=f(x)$ называют обратимой на некотором множестве, если она каждое своё значение принимает только в одной точке этого множества. Другими словами, для любых двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$ из этого множества значения функции также различны: $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$. Любая строго монотонная функция (строго возрастающая или строго убывающая) является обратимой.

Ответ: Функцию называют обратимой, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции.

2. Какие функции называют взаимно обратными?

Пусть $f$ — обратимая функция с областью определения $D(f)$ и множеством значений $E(f)$. Функция $g$, которая каждому $y$ из $E(f)$ ставит в соответствие такое $x$ из $D(f)$, что $f(x)=y$, называется обратной к функции $f$. Функции $f$ и $g$ называют взаимно обратными. Для них выполняются следующие свойства:

• Область определения $f$ совпадает с множеством значений $g$: $D(f) = E(g)$.
• Множество значений $f$ совпадает с областью определения $g$: $E(f) = D(g)$.
• Для любого $x$ из $D(f)$ верно равенство $g(f(x)) = x$.
• Для любого $x$ из $D(g)$ верно равенство $f(g(x)) = x$.

Ответ: Две функции $f$ и $g$ называют взаимно обратными, если их композиция является тождественной функцией, то есть $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$, и $f(g(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $g$.

3. Каким свойством обладают графики взаимно обратных функций?

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$. Это означает, что если точка с координатами $(a, b)$ лежит на графике функции $y=f(x)$, то точка с координатами $(b, a)$ обязательно будет лежать на графике обратной функции $y=g(x)$. Точки $(a, b)$ и $(b, a)$ являются симметричными относительно биссектрисы I и III координатных углов, которая задается уравнением $y=x$.

Ответ: Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.