Номер 20.1, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.1, страница 202.

Условие.

20.1. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 20.7, являются обратимыми?

а
$y$
$x$
$0$

б
$y$
$x$
$0$

в
$y$
$x$
$0$

г
$y$
$x$
$0$

Рис. 20.7

Решение.

Функция является обратимой тогда и только тогда, когда она является взаимно-однозначной (инъективной). Это означает, что каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента. Графически это свойство проверяется с помощью критерия горизонтальной прямой: любая горизонтальная прямая должна пересекать график функции не более чем в одной точке. Проанализируем каждый из представленных графиков.

а)Функция, график которой изображен на рисунке а, является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$ из того, что $x_1 < x_2$, следует $f(x_1) < f(x_2)$. Таким образом, разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции. Любая горизонтальная прямая пересекает данный график ровно в одной точке. Следовательно, функция является обратимой.
Ответ: функция является обратимой.

б)Функция, график которой изображен на рисунке б, не является монотонной на всей области определения. График имеет локальный максимум и локальный минимум. Можно провести горизонтальную прямую, которая пересечет график в трех точках. Это означает, что существуют три различных значения аргумента, которым соответствует одно и то же значение функции. Таким образом, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

в)Функция, график которой изображен на рисунке в, является строго возрастающей на всей своей области определения, которая, по-видимому, является объединением двух интервалов $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Несмотря на наличие точки разрыва, каждому значению функции из ее области значений соответствует единственное значение аргумента. Любая горизонтальная прямая пересекает данный график не более чем в одной точке. Следовательно, функция является обратимой.
Ответ: функция является обратимой.

г)Функция, график которой изображен на рисунке г, имеет участок, на котором она постоянна (горизонтальный отрезок). На этом участке всем значениям аргумента из некоторого интервала соответствует одно и то же значение функции. Горизонтальная прямая, проведенная через этот участок, пересечет график в бесконечном множестве точек. Таким образом, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.