Номер 20.5, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.5, страница 203.

Условие.

20.5. Докажите, что функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными:

1) $f(x)=4x+2, g(x)=\frac{x}{4}-\frac{1}{2};$

2) $f(x)=(x-3)^2, D(f)=[3;+\infty), g(x)=\sqrt{x}+3.$

Решение.

1)

Даны функции $f(x) = 4x + 2$ и $g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$.

Чтобы доказать, что функции являются взаимно обратными, необходимо показать, что их композиции равны тождественной функции, то есть $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из соответствующих областей определения.

Вычислим композицию $f(g(x))$:

$f(g(x)) = f\left(\frac{x}{4} - \frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{x}{4} - \frac{1}{2}\right) + 2$

Раскрывая скобки, получаем:

$f(g(x)) = 4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = x - 2 + 2 = x$

Теперь вычислим композицию $g(f(x))$:

$g(f(x)) = g(4x + 2) = \frac{4x + 2}{4} - \frac{1}{2}$

Разделив почленно числитель на знаменатель, получаем:

$g(f(x)) = \frac{4x}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = x$

Поскольку оба тождества $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ выполняются, функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными.

Ответ: Доказано.

2)

Даны функции $f(x) = (x - 3)^2$ с областью определения $D(f) = [3; +\infty)$ и $g(x) = \sqrt{x} + 3$.

Для того чтобы доказать, что они взаимно обратные, проверим выполнение тождеств $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$, а также соответствие их областей определения и областей значений.

Сначала определим области определения и значений для обеих функций.

Для функции $f(x) = (x-3)^2$ область определения задана: $D(f) = [3; +\infty)$. Так как $x \ge 3$, то $x-3 \ge 0$, и следовательно, $f(x) = (x-3)^2 \ge 0$. Таким образом, область значений функции $f$ есть $E(f) = [0; +\infty)$.

Для функции $g(x) = \sqrt{x} + 3$ область определения $D(g)$ состоит из всех $x$, для которых $x \ge 0$, то есть $D(g) = [0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $g(x) = \sqrt{x} + 3 \ge 3$. Таким образом, область значений функции $g$ есть $E(g) = [3; +\infty)$.

Мы видим, что область определения функции $f$ совпадает с областью значений функции $g$ ($D(f) = E(g)$), а область значений функции $f$ совпадает с областью определения функции $g$ ($E(f) = D(g)$).

Теперь проверим композиции функций.

Найдем $f(g(x))$ для всех $x$ из области определения $g(x)$ (то есть для $x \ge 0$):

$f(g(x)) = f(\sqrt{x} + 3) = ((\sqrt{x} + 3) - 3)^2 = (\sqrt{x})^2 = x$

Найдем $g(f(x))$ для всех $x$ из области определения $f(x)$ (то есть для $x \ge 3$):

$g(f(x)) = g((x-3)^2) = \sqrt{(x-3)^2} + 3$

Поскольку $x \ge 3$, выражение $x-3$ неотрицательно, поэтому $\sqrt{(x-3)^2} = |x-3| = x-3$.

Следовательно, $g(f(x)) = (x-3) + 3 = x$.

Так как $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ на соответствующих областях определения, и области определения/значений согласуются, функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными.

Ответ: Доказано.