Номер 20.3, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.3, страница 203.

Условие.

20.3. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = |x|;$

2) $y = \frac{1}{x^4};$

3) $y = 5;$

4) $y = [x].$

Решение.

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна (инъективна), то есть каждому значению функции соответствует только одно значение аргумента. Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$), для которых значения функции равны, то есть $f(x_1) = f(x_2)$.

1) $y = |x|$

Рассмотрим функцию $y = |x|$. Область определения этой функции — все действительные числа.
Найдем два различных значения аргумента, для которых значения функции совпадают.
Пусть $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции для этих аргументов:
$y_1 = |-2| = 2$
$y_2 = |2| = 2$
Таким образом, мы нашли два различных значения аргумента ($-2$ и $2$), которым соответствует одно и то же значение функции ($2$). Это означает, что функция не является инъективной, а следовательно, не является обратимой.

Ответ: Функция не является обратимой.

2) $y = \frac{1}{x^4}$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^4}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$.
Найдем два различных значения аргумента из области определения, для которых значения функции совпадают.
Пусть $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции для этих аргументов:
$y_1 = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$
$y_2 = \frac{1}{1^4} = \frac{1}{1} = 1$
Таким образом, мы нашли два различных значения аргумента ($-1$ и $1$), которым соответствует одно и то же значение функции ($1$). Это означает, что функция не является инъективной, а следовательно, не является обратимой.

Ответ: Функция не является обратимой.

3) $y = 5$

Рассмотрим функцию $y = 5$. Это постоянная функция, ее область определения — все действительные числа.
Для любых двух различных значений аргумента значение функции будет одинаковым.
Например, пусть $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции для этих аргументов:
$y_1 = 5$
$y_2 = 5$
Таким образом, мы нашли два различных значения аргумента ($0$ и $7$), которым соответствует одно и то же значение функции ($5$). Это означает, что функция не является инъективной, а следовательно, не является обратимой.

Ответ: Функция не является обратимой.

4) $y = [x]$

Рассмотрим функцию $y = [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Область определения — все действительные числа.
Найдем два различных значения аргумента, для которых значения функции совпадают.
Пусть $x_1 = 3.2$ и $x_2 = 3.5$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции для этих аргументов:
$y_1 = [3.2] = 3$
$y_2 = [3.5] = 3$
Таким образом, мы нашли два различных значения аргумента ($3.2$ и $3.5$), которым соответствует одно и то же значение функции ($3$). Это означает, что функция не является инъективной, а следовательно, не является обратимой.

Ответ: Функция не является обратимой.