Номер 20.8, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.8, страница 203.

Условие.

20.8. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y=2\sqrt{x-1}$;

2) $y=x^2, D(y)=(-\infty; 0]$;

3) $y=\frac{1-x}{1+x}$.

Решение.

1) $y = 2\sqrt{x - 1}$

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить $x$ через $y$. Но сначала найдем область определения и область значений данной функции.

Область определения $D(y)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Следовательно, $D(y) = [1; +\infty)$.

Область значений $E(y)$: поскольку арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $y = 2\sqrt{x-1} \ge 0$.
Следовательно, $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$:
$y = 2\sqrt{x - 1}$
$\frac{y}{2} = \sqrt{x - 1}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\frac{y}{2})^2 = x - 1$
$\frac{y^2}{4} = x - 1$
$x = \frac{y^2}{4} + 1$

Чтобы получить обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \frac{x^2}{4} + 1$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \ge 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \ge 1$.
Ответ: $y = \frac{x^2}{4} + 1$, при $x \ge 0$.

2) $y = x^2, D(y) = (-\infty; 0]$

Область определения функции задана: $x \in (-\infty; 0]$.
Найдем область значений $E(y)$: если $x \le 0$, то $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $E(y) = [0; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:
$y = x^2$
$x = \pm\sqrt{y}$
Так как по условию область определения $x \le 0$, мы выбираем знак "минус":
$x = -\sqrt{y}$

Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы найти обратную функцию:
$y = -\sqrt{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, $x \ge 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, $y \le 0$.
Ответ: $y = -\sqrt{x}$.

3) $y = \frac{1 - x}{1 + x}$

Найдем область определения $D(y)$: знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$1 + x \ne 0$
$x \ne -1$
Следовательно, $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:
$y(1 + x) = 1 - x$
$y + yx = 1 - x$
$yx + x = 1 - y$
$x(y + 1) = 1 - y$
$x = \frac{1 - y}{1 + y}$

Из этого выражения видно, что для каждого значения $y$, кроме $y = -1$, существует единственное значение $x$. Таким образом, область значений исходной функции $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$ в полученном выражении:
$y = \frac{1 - x}{1 + x}$

Получилось, что обратная функция совпадает с исходной.
Ответ: $y = \frac{1 - x}{1 + x}$.