Номер 20.13, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 20. Обратная функция - номер 20.13, страница 204.

Условие.

20.13. Найдите функцию, обратную к данной:

$y = \begin{cases} 2 - x^2, \text{ если } x \ge 1, \\ 2 - x, \text{ если } x < 1. \end{cases}$

Решение.

Для того чтобы найти функцию, обратную к данной, необходимо для каждой из двух ветвей функции выразить переменную $x$ через $y$. Затем в полученных выражениях поменять переменные $x$ и $y$ местами.

Данная функция определена как:$y = \begin{cases} 2 - x^2, & \text{если } x \ge 1 \\ 2 - x, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

Первая ветвь: $y = 2 - x^2$ при $x \ge 1$

Сначала определим область значений $y$ для этой ветви. Поскольку $x \ge 1$, то $x^2 \ge 1$. Умножая на $-1$, получаем $-x^2 \le -1$. Прибавляя $2$, получаем $2 - x^2 \le 1$. Таким образом, для этой ветви область значений $y \in (-\infty, 1]$.

Теперь выразим $x$ через $y$:

$y = 2 - x^2$

$x^2 = 2 - y$

$x = \pm\sqrt{2 - y}$

Так как по условию $x \ge 1$, мы должны выбрать знак, который обеспечивает выполнение этого неравенства. Выбираем знак «+», поскольку $x$ должен быть положительным: $x = \sqrt{2 - y}$. Это выражение имеет смысл при $2 - y \ge 0$, то есть $y \le 2$, что согласуется с нашей областью значений $y \le 1$. Условие $x \ge 1$ означает $\sqrt{2 - y} \ge 1$. Возводя в квадрат обе части (они неотрицательны), получаем $2 - y \ge 1$, или $y \le 1$, что в точности соответствует найденной области значений для этой ветви.

Вторая ветвь: $y = 2 - x$ при $x < 1$

Определим область значений $y$ для этой ветви. Поскольку $x < 1$, то $-x > -1$. Прибавляя $2$, получаем $2 - x > 1$. Таким образом, для этой ветви область значений $y \in (1, \infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$:

$y = 2 - x$

$x = 2 - y$

Условие $x < 1$ означает $2 - y < 1$, что равносильно $y > 1$. Это совпадает с областью значений для данной ветви.

Построение обратной функции

Мы нашли зависимость $x$ от $y$ для двух областей значений $y$:

$x = \begin{cases} \sqrt{2 - y}, & \text{если } y \le 1 \\ 2 - y, & \text{если } y > 1 \end{cases}$

Чтобы записать обратную функцию в стандартном виде (как зависимость $y$ от $x$), поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$y = \begin{cases} \sqrt{2 - x}, & \text{если } x \le 1 \\ 2 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \sqrt{2 - x}, & \text{если } x \le 1 \\ 2 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$