Номер 21.4, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.4, страница 209.

Условие.

21.4. Найдите значение выражения:

1) $(\sqrt[8]{18})^8;$

2) $(-\sqrt[9]{9})^9;$

3) $(-\sqrt[6]{11})^6;$

4) $\left(\frac{1}{3} \sqrt[3]{45}\right)^3;$

5) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{45^3};$

6) $\left(-2\sqrt[5]{-5}\right)^5.$

Решение.

1)
Для вычисления значения выражения $(\sqrt[8]{18})^8$ используется основное свойство арифметического корня n-ой степени: $(\sqrt[n]{a})^n = a$, при условии, что если $n$ — четное число, то $a \ge 0$.
В данном примере $n=8$ (четное число) и подкоренное выражение $a=18$ является положительным числом.
Следовательно: $(\sqrt[8]{18})^8 = 18$.
Ответ: 18

2)
Для вычисления значения выражения $(-\sqrt[9]{9})^9$ используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.
$(-\sqrt[9]{9})^9 = (-1 \cdot \sqrt[9]{9})^9 = (-1)^9 \cdot (\sqrt[9]{9})^9$.
Поскольку показатель степени 9 является нечетным числом, $(-1)^9 = -1$.
По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[9]{9})^9 = 9$.
Таким образом, результат равен: $-1 \cdot 9 = -9$.
Ответ: -9

3)
Для вычисления значения выражения $(-\sqrt[6]{11})^6$ используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.
$(-\sqrt[6]{11})^6 = (-1 \cdot \sqrt[6]{11})^6 = (-1)^6 \cdot (\sqrt[6]{11})^6$.
Поскольку показатель степени 6 является четным числом, $(-1)^6 = 1$.
По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[6]{11})^6 = 11$.
Таким образом, результат равен: $1 \cdot 11 = 11$.
Ответ: 11

4)
Для вычисления значения выражения $(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45})^3$ используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.
$(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{45})^3$.
Вычислим значение каждого множителя:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.
$(\sqrt[3]{45})^3 = 45$.
Теперь перемножим полученные значения: $\frac{1}{27} \cdot 45 = \frac{45}{27}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 9: $\frac{45 \div 9}{27 \div 9} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$

5)
В выражении $\frac{1}{3}\sqrt[3]{45^3}$ сначала нужно извлечь корень. Используем свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$.
Поскольку $n=3$ (нечетное), то $\sqrt[3]{45^3} = 45$.
Подставим это значение в исходное выражение: $\frac{1}{3} \cdot 45 = \frac{45}{3} = 15$.
Ответ: 15

6)
Для вычисления значения выражения $(-2\sqrt[5]{-5})^5$ используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$.
$(-2\sqrt[5]{-5})^5 = (-2)^5 \cdot (\sqrt[5]{-5})^5$.
Вычислим значение каждого множителя:
$(-2)^5 = -32$.
По определению корня n-ой степени $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Поскольку $n=5$ (нечетное), то $(\sqrt[5]{-5})^5 = -5$.
Теперь перемножим полученные значения: $(-32) \cdot (-5) = 160$.
Ответ: 160