Номер 21.7, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.7, страница 209.

Условие.

21.7. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt[3]{x - 1}$;

2) $\sqrt[4]{x^2 - x - 2}$;

3) $\sqrt[4]{|x| - 1}$;

4) $\sqrt[6]{x^2(x - 3)}.$

Решение.

1) Областью определения выражения $\sqrt[3]{x-1}$ является множество всех значений $x$, при которых выражение под корнем имеет смысл.
Так как корень нечетной степени (в данном случае степень 3) определен для любого действительного числа, то подкоренное выражение $x-1$ может принимать любые значения. Выражение $x-1$ определено для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, область определения выражения — все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Областью определения выражения $\sqrt[4]{x^2 - x - 2}$ является множество всех значений $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четную степень (4).
Необходимо решить неравенство:
$x^2 - x - 2 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -1$ или $x \ge 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

3) Для выражения $\sqrt[4]{|x| - 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как степень корня четная (4).
Решим неравенство:
$|x| - 1 \ge 0$
$|x| \ge 1$
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

4) Для выражения $\sqrt[6]{x^2(x-3)}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как степень корня четная (6).
Решим неравенство:
$x^2(x-3) \ge 0$
Поскольку множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$ для любого $x$), то знак всего выражения зависит от знака множителя $(x-3)$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. В этом случае $0 \ge 0$ — верное неравенство.
2. Когда $x^2 > 0$ (то есть $x \neq 0$), множитель $(x-3)$ должен быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.
Объединяя эти два случая, получаем область определения, состоящую из точки $x=0$ и промежутка $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in \{0\} \cup [3; +\infty)$.