Номер 21.14, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.14, страница 209.

Условие.

21.14. Найдите область определения выражения:

1) $ \sqrt[4]{\frac{|x|-1}{x^2-9}} $

2) $ \sqrt[8]{6-|x|} + \frac{1}{\sqrt[4]{3-x}} $

Решение.

1) Область определения выражения $\sqrt[4]{\frac{|x|-1}{x^2-9}}$ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае, четвертой) должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Таким образом, мы должны решить систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{|x|-1}{x^2-9} \geq 0 \\ x^2-9 \neq 0 \end{cases}$

Второе условие $x^2 \neq 9$ означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Это уже учтено в первом неравенстве, если мы будем использовать строгие знаки для интервалов, содержащих эти точки.

Решим неравенство $\frac{|x|-1}{x^2-9} \geq 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $|x|-1 = 0 \implies |x|=1 \implies x = -1$ или $x = 1$.

Нули знаменателя: $x^2-9 = 0 \implies x^2=9 \implies x = -3$ или $x = 3$.

Отметим эти четыре точки на числовой оси: -3, -1, 1, 3. Точки -3 и 3 будут "выколотыми", так как они обращают знаменатель в ноль, а точки -1 и 1 будут "закрашенными", так как в них числитель равен нулю, и неравенство является нестрогим.

Определим знак выражения в каждом из полученных интервалов:

• Интервал $(-\infty, -3)$: возьмем $x=-4$. $\frac{|-4|-1}{(-4)^2-9} = \frac{4-1}{16-9} = \frac{3}{7} > 0$. Интервал подходит.
• Интервал $(-3, -1]$: возьмем $x=-2$. $\frac{|-2|-1}{(-2)^2-9} = \frac{2-1}{4-9} = \frac{1}{-5} < 0$. Интервал не подходит.
• Интервал $[-1, 1]$: возьмем $x=0$. $\frac{|0|-1}{0^2-9} = \frac{-1}{-9} = \frac{1}{9} > 0$. Интервал подходит.
• Интервал $[1, 3)$: возьмем $x=2$. $\frac{|2|-1}{2^2-9} = \frac{2-1}{4-9} = \frac{1}{-5} < 0$. Интервал не подходит.
• Интервал $(3, +\infty)$: возьмем $x=4$. $\frac{|4|-1}{4^2-9} = \frac{4-1}{16-9} = \frac{3}{7} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя все интервалы, удовлетворяющие условию, получаем область определения.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup [-1; 1] \cup (3; +\infty)$.

2) Область определения выражения $\sqrt[8]{6-|x|} + \frac{1}{\sqrt[4]{3-x}}$ является пересечением областей определения каждого из слагаемых.

1. Найдем область определения для первого слагаемого $\sqrt[8]{6-|x|}$. Так как корень восьмой степени (четной), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$6 - |x| \geq 0$

$|x| \leq 6$

Это неравенство равносильно системе $-6 \leq x \leq 6$. Таким образом, область определения первого слагаемого: $x \in [-6; 6]$.

2. Найдем область определения для второго слагаемого $\frac{1}{\sqrt[4]{3-x}}$. Здесь корень четвертой степени (четной) находится в знаменателе. Это накладывает два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю. Объединяя эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$3 - x > 0$

$x < 3$

Таким образом, область определения второго слагаемого: $x \in (-\infty; 3)$.

3. Для нахождения области определения всего выражения найдем пересечение полученных множеств:

$[-6; 6] \cap (-\infty; 3)$

Пересечением этих двух интервалов является множество всех чисел, которые больше или равны -6 и строго меньше 3.

Ответ: $[-6; 3)$.