Номер 21.21, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.21, страница 210.

Условие.

21.21. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$

на промежутке:

1) [2; 3];

2) [-1; 0];

3) [-2; 2];

4) [-2; 1];

5) $[-1; +\infty)$;

6) $(-\infty; 2)$.

Решение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ на различных промежутках, сначала проанализируем её свойства. Функция является четной ($f(-x) = f(x)$), убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Глобальный минимум функции достигается в точке $x=0$ и равен $f(0)=0$.

1) [2; 3]
На промежутке $[2; 3]$ функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается при $x=2$, а наибольшее — при $x=3$.
Наименьшее значение: $f_{min} = f(2) = \sqrt[3]{2}$.
Наибольшее значение: $f_{max} = f(3) = \sqrt[3]{3}$.
Ответ: наименьшее значение $\sqrt[3]{2}$, наибольшее значение $\sqrt[3]{3}$.

2) [-1; 0]
На промежутке $[-1; 0]$ функция $f(x) = \sqrt[3]{-x}$ убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается при $x=-1$, а наименьшее — при $x=0$.
Наибольшее значение: $f_{max} = f(-1) = \sqrt[3]{|-1|} = 1$.
Наименьшее значение: $f_{min} = f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

3) [-2; 2]
Промежуток $[-2; 2]$ содержит точку глобального минимума $x=0$, поэтому наименьшее значение функции на этом отрезке $f_{min} = f(0) = 0$.
Наибольшее значение достигается в точке, наиболее удаленной от нуля. Это точки $x=-2$ и $x=2$.
Наибольшее значение: $f_{max} = f(-2) = f(2) = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\sqrt[3]{2}$.

4) [-2; 1]
Промежуток $[-2; 1]$ содержит точку минимума $x=0$, поэтому $f_{min} = f(0) = 0$.
Наибольшее значение достигается в точке, наиболее удаленной от нуля на данном отрезке. Сравниваем $|-2|=2$ и $|1|=1$. Так как $2 > 1$, наибольшее значение будет в точке $x=-2$.
Наибольшее значение: $f_{max} = f(-2) = \sqrt[3]{|-2|} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\sqrt[3]{2}$.

5) [-1; +∞)
Промежуток $[-1; +\infty)$ содержит точку минимума $x=0$, поэтому $f_{min} = f(0) = 0$.
Поскольку при $x \to +\infty$, значение функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ также стремится к $+\infty$, функция не ограничена сверху. Следовательно, наибольшего значения не существует.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

6) (-∞; 2]
Промежуток $(-\infty; 2]$ содержит точку минимума $x=0$, поэтому $f_{min} = f(0) = 0$.
Поскольку при $x \to -\infty$, значение функции $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ стремится к $+\infty$, функция не ограничена сверху. Следовательно, наибольшего значения не существует.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.