Номер 21.17, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.17, страница 210.

Условие.

21.17. Решите уравнение:

1) $ (|x| - 3)\sqrt[6]{2 - x} = 0; $

2) $ (x + 2)\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0. $

Решение.

1) $(|x| - 3)\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (определен). Это равносильно системе:

$ \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} |x| - 3 = 0 \\ \sqrt[6]{2 - x} = 0 \end{array} \right. \\ 2 - x \ge 0 \end{cases} $

Сначала решим неравенство, определяющее область допустимых значений (ОДЗ):

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

Теперь решим каждое уравнение из совокупности и проверим его корни на соответствие ОДЗ.

а) $|x| - 3 = 0$

$|x| = 3$

Это уравнение дает два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни:

• $x_1 = 3$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому он является посторонним.
• $x_2 = -3$. Этот корень удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, является решением исходного уравнения.

б) $\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$2 - x = 0$

$x_3 = 2$

Проверим корень: $x_3 = 2$ удовлетворяет условию $x \le 2$, значит, это решение.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-3; 2$.

2) $(x + 2)\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x + 2 = 0 \\ \sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0 \end{array} \right. \\ x^2 + 2x - 3 \ge 0 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство:

$x^2 + 2x - 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим уравнения из совокупности и проверим их корни на принадлежность ОДЗ.

а) $x + 2 = 0$

$x = -2$

Проверим корень: $x = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < -2 < 1$. Следовательно, это посторонний корень.

б) $\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$

Возводим обе части в шестую степень:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого уравнения мы уже нашли: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни:

• $x_1 = 1$. Этот корень принадлежит ОДЗ.
• $x_2 = -3$. Этот корень также принадлежит ОДЗ.

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения.

Ответ: $-3; 1$.