Номер 21.24, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.24, страница 210.

Условие.

21.24. В зависимости от значения параметра $a$ определите количество корней уравнения:

1) $(x-a)\sqrt[4]{x+1}=0$;

2) $(x-a)(\sqrt[4]{x}+1)=0$;

3) $(x-a)(\sqrt[4]{x}-1)=0$.

Решение.

1)

Дано уравнение $(x-a)\sqrt[4]{x} + 1 = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием корня четвертой степени: $x \ge 0$. Проверим, может ли $x=0$ быть корнем. Подстановка $x=0$ в уравнение дает $1=0$, что является ложным равенством. Следовательно, $x > 0$. При $x > 0$ мы можем преобразовать уравнение: $(x-a)\sqrt[4]{x} = -1$ $x-a = -\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ $a = x + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ Задача сводится к определению числа решений уравнения $a = f(x)$ для функции $f(x) = x + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ при $x > 0$. Это соответствует нахождению числа точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$. Для анализа функции найдем ее производную: $f'(x) = \left(x + x^{-1/4}\right)' = 1 - \frac{1}{4}x^{-5/4} = 1 - \frac{1}{4\sqrt[4]{x^5}}$ Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{1}{4\sqrt[4]{x^5}} = 0 \implies 4\sqrt[4]{x^5} = 1 \implies x^5 = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256} \implies x_0 = \sqrt[5]{\frac{1}{256}}$ При $x \in (0, x_0)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает. При $x \in (x_0, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает. Следовательно, в точке $x_0$ функция достигает своего минимума. Найдем минимальное значение функции: $a_{min} = f(x_0) = \sqrt[5]{\frac{1}{256}} + \frac{1}{\sqrt[4]{\sqrt[5]{1/256}}} = (256^{-1/5}) + (256^{1/20}) = (4^4)^{-1/5} + (4^4)^{1/20} = 4^{-4/5} + 4^{1/5}$ $a_{min} = 4^{-4/5} (1+4) = 5 \cdot 4^{-4/5} = \frac{5}{4^{4/5}} = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$ Область значений функции $f(x)$ есть промежуток $[\frac{5}{\sqrt[5]{256}}, +\infty)$. Количество корней уравнения зависит от значения $a$:

• Если $a < \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, прямая $y=a$ не пересекает график $y=f(x)$, корней нет.
• Если $a = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, прямая касается графика в точке минимума, один корень.
• Если $a > \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, прямая пересекает график в двух точках, два корня.

Ответ: если $a \in (-\infty, \frac{5}{\sqrt[5]{256}})$, то корней нет; если $a = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, то один корень; если $a \in (\frac{5}{\sqrt[5]{256}}, +\infty)$, то два корня.

2)

Дано уравнение $(x-a)(\sqrt[4]{x} + 1) = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1. $\sqrt[4]{x} + 1 = 0$. Это уравнение равносильно $\sqrt[4]{x} = -1$. Так как арифметический корень четной степени не может быть отрицательным ($\sqrt[4]{x} \ge 0$), это уравнение не имеет решений. 2. $x-a = 0$. Это уравнение имеет корень $x=a$. Этот корень должен удовлетворять ОДЗ, то есть $a \ge 0$. Таким образом, количество корней зависит от значения параметра $a$:

• Если $a < 0$, то корень $x=a$ не принадлежит ОДЗ, и исходное уравнение не имеет корней.
• Если $a \ge 0$, то корень $x=a$ принадлежит ОДЗ, и исходное уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < 0$, корней нет; если $a \ge 0$, один корень.

3)

Дано уравнение $(x-a)(\sqrt[4]{x} - 1) = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1. $x-a = 0 \implies x_1 = a$. Этот корень является решением, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть при $a \ge 0$. 2. $\sqrt[4]{x} - 1 = 0 \implies \sqrt[4]{x} = 1$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x_2 = 1$. Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$) и не зависит от $a$. Проанализируем общее количество различных корней в зависимости от $a$.

• Если $a < 0$, то корень $x_1=a$ не входит в ОДЗ. Единственным решением является $x_2=1$. Уравнение имеет один корень.
• Если $a \ge 0$, то $x_1=a$ является корнем. Таким образом, у уравнения есть корни $x_1=a$ и $x_2=1$. Необходимо проверить, когда эти корни совпадают: $x_1 = x_2 \implies a=1$.
  • Если $a=1$, то оба множителя дают один и тот же корень $x=1$. В этом случае уравнение имеет один корень.
  • Если $a \ge 0$ и $a \ne 1$, то корни $x_1=a$ и $x_2=1$ различны и оба удовлетворяют ОДЗ. В этом случае уравнение имеет два корня.

Объединяя результаты, получаем:

Ответ: если $a < 0$ или $a = 1$, один корень; если $a \ge 0$ и $a \ne 1$, два корня.