Номер 21.18, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 21. Определение корня n-й степени - номер 21.18, страница 210.

Условие.

21.18. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[4]{x} - 1)^4 + (\sqrt[4]{1 - x})^4 + 1;$

2) $y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1 - x})^6.$

Решение.

1)

Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[4]{x-1})^4 + (\sqrt[4]{1-x})^4 + 1$.

Для построения графика сначала найдем область определения функции. Поскольку корень четной степени (в данном случае, четвертой) определен только для неотрицательных подкоренных выражений, необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия:

$x - 1 \ge 0$ и $1 - x \ge 0$.

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 1 \end{cases}$

Единственное число, которое одновременно больше или равно 1 и меньше или равно 1, это $x = 1$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной-единственной точки $x = 1$.

Теперь найдем значение функции в этой точке, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:

$y(1) = (\sqrt[4]{1-1})^4 + (\sqrt[4]{1-1})^4 + 1 = (\sqrt[4]{0})^4 + (\sqrt[4]{0})^4 + 1 = 0^4 + 0^4 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Так как функция определена только в одной точке, ее график представляет собой эту единственную точку на координатной плоскости.

Ответ: График функции является точкой с координатами $(1, 1)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1-x})^6$.

Найдем область определения функции. По аналогии с предыдущим пунктом, подкоренные выражения для корней четной степени (шестой) должны быть неотрицательными:

$x \ge 0$ и $1 - x \ge 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 1 \end{cases}$

Решением системы является отрезок $[0, 1]$. Это и есть область определения функции.

Теперь упростим выражение для функции на ее области определения. Для любого $a \ge 0$ справедливо равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Поскольку для всех $x \in [0, 1]$ оба подкоренных выражения $x$ и $1-x$ неотрицательны, мы можем упростить функцию:

$y = (\sqrt[6]{x})^6 + (\sqrt[6]{1-x})^6 = x + (1 - x) = 1$.

Таким образом, для любого $x$ из отрезка $[0, 1]$ значение функции равно 1. Графиком такой функции является отрезок прямой $y=1$, ограниченный значениями $x$ от 0 до 1 включительно.

Конечными точками этого отрезка будут точки $(0, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции – это отрезок, соединяющий точки с координатами $(0, 1)$ и $(1, 1)$.